Cтраница 1
Тензорные методы прилагаются к динамике в первую очередь не для того, чтобы разрешать некоторые конкретные динамические задачи. Целью этих методов является скорее адэкватное изложение так называемых общих проблем динамики, делающееся возможным при проникновении в динамику идей римано-вой или даже еще более общей геометрии. В этом направлении получены неожиданно прекрасные результаты. [1]
Тензорные методы в наибольшей степени обнаруживают свои преимущества в многомерных пространствах, а тензорный анализ в узком смысле слова приспособлен прежде всего к многомерным римановым пространствам, а затем и к их обобщению - пространствам афинной связности. [2]
Для того чтобы проследить, откуда берут свое начало тензорные методы в динамике, мы должны обратиться к идеям Лагранжа об общих свойствах динамических систем, а также к идеям Р и м а н а в области многомерной геометрии. В введении к его Аналитической механике сказано: В этом сочинении нет чертежей. Методы, в нем излагаемые, не требуют ни геометрических построений, ни механических рассуждений; они требуют лишь алгебраических операций, подчиненных правильному и однообразному ходу. [3]
В исследованиях по теории сетей Е ф и м о в [3, 9] рассматривал тензорными методами виртуально сопряженные сети, поверхности переноса, поверхности Фосса и др., получив ряд наглядно-геометрических результатов. [4]
Общая теория удара может быть разработана с помощью уравнений Лагранжа, и, следовательно, в ней могут быть использованы тензорные методы. [5]
Все эти канонические формы, кроме случая 211, по существу идентичны формам, которые установил Петров ( 1954 г.) прямыми тензорными методами. Нетрудно найти изменение спиновой системы отсчета, при котором достигается этот результат. [6]
Значительное место при решении задач кинематики пространственных механизмов тензорными методами имеет операция умножения тензоров. [7]
Тензорная алгебра является обобщением теории векторных пространств ( пп. Тензорный анализ занимается изучением тензоров как функций точки ( тен-ворное поле) и применяется в основном для описания пространства с кривизной гл. Тензорные методы часто позволяют проследить ла относительно простой математической модели изменение сложных количественных характеристик при Переходе от одной системы отсчета к другой. [8]
Тензорная алг & ра является обобщением теории векторных пространств ( пп. Тензорный анализ занимается изучением тензоров как функции точки ( тензорное поле) и применяется в основном для описания пространства с кривизной ( гл. Тензорные методы часто позволяют проследить на относительно простой математической модели изменение сложных количественных характеристик при переходе от одной система отсчета к другой. [9]
Синга, одного из крупнейших специалистов по классической механике, хорошо известно нашему читателю но изданным на русском языке переводам трех его книг ( Дж. С и н д ж, Тензорные методы в динамике, Изд-во иностр. С и н д ж, Релятивистский газ, Атомиздат, Москва, 1960; Дж. Синг, Общая теория относительности, Изд-во иностр. [10]
Рассмотрим динамическую систему, переходящую из конфигурации А в конфигурацию В. Пусть она находится под влиянием данного консервативного поля сил и пусть задана ее полная энергия. Требуется определить идеальные связи, при которых система перейдет из положения А в положение В в экстремальное время. Соответствующую траекторию называют брахистохроной. Эту классическую проблему динамики точки Мак-Коннель ( McConnell) flj перенес на динамику системы; применив тензорные методы, он пришел к обобщению результатов Эйлера. [11]
Первые идеи о связи динамики системы с движением точки в п-мерном пространстве были довольно неотчетливо изложены Риманом в 1854 г. В 1869 г. Бельтрами и в 1872 г. Липшиц использовали геометрические методы. Идея многомерного риманова пространства постепенно все глубже внедрялась в механику. Наконец, тензорные методы в динамике ведут свое начало от работ Риччи и Леви-Чивита 1900 г. Дальнейшее развитие этих идей принадлежит Райту ( 1908 г.), Гораку ( 1924 г.), Синджу ( 1926 г.), Вранцеану ( 1926 г.), Скаутену ( 1929 г.) и другим. [12]
Книга написана в векторном изложении. Около трех лет назад на конференциях наших технических учебных заведений был поставлен вопрос о введении векторных методов в преподавание математики и механики. Не могу не высказать своего глубокого убеждения в том, что это решение неправильное, ошибочное. Скажу только, что векторный алгорифм в такой мере упростил как выражение сложных математических истин, так и исследование, что старое координатное изложение часто не идет с ним ни в какое сравнение. Векторное исчисление проникает и в школе и в научном исследовании во все отрасли точного знания: в аналитическую и диференциальную геометрию, механику, физику. Наши специалисты и научные работники должны усвоить достижения западной науки, ее литературу; они не могут этого сделать, не владея векторным исчислением. В нашей литературе, оригинальной и переводной, появляется много сочинений, посвященных векторному исчислению или проникнутых векторными и тензорными методами. [13]