Cтраница 1
Наличие чебышевского альтернанса является не только необходимым, но и достаточным признаком полинома наилучшего лриближения. Однако достаточность этого признака может быть доказана при более слабых предположениях, чем необходимость, - не требуется, чтобы подпространство С было чебы-шевским. Ниже она будет получена из теоремы об оценке снизу наилучшего приближения. [1]
Таким образом, в точках чебышевского альтернанса многочлена ( 12) многочлены Qn ( x) и Fn ( x) совпадают. Следовательно, многочлены Qn ( x) и Fn ( x) тождественны. [2]
Следовательно, концы отрезка I-11 ] также должны входить в чебышевский альтернанс. Отсюда следует, что многочлены ( 1 - х2) ( Q n ( х)) 2 и Е п - Q % ( x) имеют одни и те же нули. [3]
Пользуясь теоремой единственности многочлена наилучшего равномерного приближения, мы сейчас докажем, что чебышевский альтернанс является характеристическим признаком многочлена наилучшего приближения. [4]
Доказано существование единственного решения такой задачи и выполнимость для него равенств (3.11) в точках чебышевского альтернанса. [5]
Привести пример функции и соответствующего ей многочлена наилучшего равномерного приближения, для которых среди точек чебышевского альтернанса нет граничных точек отрезка, на котором решается задача приближения. [6]
Теоремы, аналогичные теоремам I, 2, 3, можно доказать и для тригонометрического случая, тогда чебышевский альтернанс будет состоять уже не менее чем из 2п 2 точек. [7]
Аналогичные результаты справедливы и для наилучших равномерных приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами с той лишь разницей, что при заданной степени п чебышевский альтернанс состоит из 2м 2 точек на периоде. [8]
Многочлен Qofa) - ( М - - т) / 1 является многочленом наилучшего приближения, a xi, х - 2 - точками чебышевского альтернанса. [9]
В частных задачах построения наилучших равномерных приближений заданных функций алгебраическими многочленами, дробно-рациональными выражениями и обобщенными полиномами широкое распространение получили методы Ремеза [55], общая схема которых заключается в последовательном уточнении некоторыми способами ( алгоритм Балле Пуссена, - алгоритм и др. [23, 46]) набора точек чебышевского альтернанса. [10]
Аналогичные результаты имеют место и для тригонометрических полиномов наилучшего приближения непрерывных периодических функций. В этом случае чебышевский альтернанс тригонометрического полинома наилучшего равномерного приближения порядка п содержит 2п 2 существенно различных точек. А в остальном и формулировки, и доказательства полностью аналогичны приведенным выше результатам в алгебраическом случае. [11]
Полусумма S двух полиномов наилучшего приближения Р, Q также является полиномом наилучшего приближения. Легко показать, что чебышевский альтернанс для S является таковым для Р и Q. Отсюда следует совпадение значений Р ( х) и Q ( x) в п 2 точках альтернанса. [12]
Обычно многочлен наилучшего равномерного приближения отыскивается каким-либо итерационным методом. Описываемый ниже алгоритм состоит в получении последовательных приближений к точкам чебышевского альтернанса и соответствующих этим точкам многочленов, сходящихся к многочлену наилучшего равномерного приближения. [13]
В общем случае отсутствуют методы, позволяющие отличить локальный минимум от глобального. Однако для фильтров, схемы которых обычно представляют каскадное соединение резонаторов, дризнаком глобальности служит чебышевский альтернанс полученной в результате минимизации частотной характеристики. Например, если число резонаторов п, то вносимые потери в полосе пропускания должны п 1 раз принимать максимальное значение. [14]
Непрерывная, выпуклая на отрезке [ а, Ь ] функция f ( x) приближается многочленом первой степени Qi ( x) HQ aio. Вследствие выпуклости f ( x) разность / ( ж) - ( оо а х) может иметь на интервале ( о, Ь) только одну точку экстремума, поэтому точки а, Ь являются точками чебышевского альтернанса. [15]