Единственность - отображение
Cтраница 1
Единственность отображения v.7, удовлетворяющего требованиям леммы, следует очевидным образом из единственности накрывающего пути. [1]
Ввиду единственности отображений Q g для проверки того, что 6 есть действие, достаточно лишь установить его непрерывность. Но, как легко видеть, его ограничение G0xX - X есть отображение из теоремы 9.1, которое, следовательно, непрерывно. [2]
Требование единственности отображения h в диаграмме ( 1), примененное к тривиальному случаю SR, дает, что hk - тождественное отображение R в себя. Аналогично доказывается, что и kh - тождественное отображение S в себя. [3]
Тогда условия единственности отображения выполнены. [4]
В силу установленной единственности развертывающего отображения d получаем, что каждому преобразованию наложения Ta. [5]
Таким образом, единственность отображения 7rg / G проверена. [6]
 |
Диаграмма универсальных отображений. [7] |
Существенным обстоятельством является здесь единственность универсальных отображений, доказанная на стр. [8]
По доказанному выше, F () 2 (), но тогда и Л ( г) / 2 ( z), и единственность отображения доказана. [9]
Хотя система ( 1) имеет особенность на оси вращения г 0, на нее, тем не менее, можно распространить теорему Римана о существовании и единственности отображений. [10]
УСЛОВИЯ ЙУ ( ZQ) Шо, ИУ ( zv) wr, задающие соответствие пары внутренних точек z0, w0 и пары граничных точек zv, Шг обеспечивают единственность отображения. Без этих условий существует бесконечно много функций w - w ( z), конформно отображающих односвязную область D с границей, состоящей более чем из одной точки, на односвязную область А с аналогичной границей. [11]
В упомянутых работах М. А. Лаврентьев распространяет на решения произвольных сильно эллиптических систем многие свойства конформных отображений, в том числе свои вариационные принципы и свои результаты относительно граничных свойств отображений. Наконец, в тех же предположениях он доказывает основную теорему существования и единственности отображений - это наиболее далеко идущее обобщение классической теоремы Римана. [12]
Принципиально по-новому поставил вопрос М. А. Лаврентьев в своей работе Об одном классе непрерывных отображений ( Матем. Задание характеристик р р ( г), 0 9 ( я) выделяет из класса отображений с ограниченным эксцентриситетом ( предполагается, что характеристика р ( г) ограничена) подкласс отображений, которые М. А. Лаврентьев назвал квазиконформными отображениями. Основной результат работы 1935 г. состоит в том, что при заданных непрерывных характеристиках для квазиконформных отображений остается в силе основная теорема о возможности и единственности отображения одной односвязной области на другую при заданных трех действительных параметрах. [13]
Хотя, согласно этой теореме, требуются всего две граничные точки в плоскости 2, в практических приложениях желательно отображать в единичный круг кривую, содержащую бесконечное число граничных точек. Проблему конформного отображения Ри-ман разработал в своей диссертации ( 1851 г.), где были представлены все основные понятия, на которых базируются последующие работы в этой области. Однако его доказательство теоремы об отображении было не полным, поскольку оно зиждилось на спорных допущениях, обоснованность которых была доказана лишь в 1900 г. Гильбертом в теореме, известной под названием принцип Дирихле. Доказательства теоремы здесь не дается, однако полезно рассмотреть условия единственности отображения. Два различных единственных отображения односвяз-ной области на внутреннюю область единичного круга дают единственное отображение единичного круга в самого себя; как будет показано далее, это преобразование должно быть линейным. Итак, комплексное число / ( 0) дает два действительных числа: само данное и arg / ( 0), что достаточно для обеспечения единственности преобразования. [14]
Страницы: 1