Cтраница 1
Единственность решения внешней задачи ( а следовательно, и его физическая определенность) установлена при прочих равных условиях только в классе достаточно быстро убывающих полей. [1]
Отсюда, пользуясь единственностью решения внешней задачи Неймана и внутренней задачи Дирихле ( см. § 31.1), как и в § 28.4, заключаем, что F ( 0) ( z) 0, z е Д2, и, следовательно, ц ( г) з0, ze, что противоречиво. [2]
Поэтому, в силу единственности решения внешней задачи Неймана ( см. § 28.2), заключаем, что Vw ( x) - V ( x), x G. [3]
Еще раз подчеркнем, что единственность решения внешней задачи Дирихле установлена лишь в классе гармонических функций, регулярных на бесконечности. [4]
Снова возникает вопрос: обеспечивается ли при выполнении условия (6.42) единственность решения внешней задачи Дирихле на плоскости. Покажем, что это действительно так. [5]
Если решение ищется внутри ограниченной области F, то говорят о внутренней краевой задаче, если же снаружи, то речь идет о внешней краевой задаче. Единственность решения внешней задачи Дирихле имеется лишь при дополнительном условии на решение: в трехмерном случае это - условие стремления к нулю на бесконечности, а в двумерном случае это более слабое условие стремления функции к конечному пределу на бесконечности. Нетрудно видеть, что в случае трехмерного пространства для определенности внешней задачи Дирихле недостаточно требовать, чтобы и имела конечный предел на бесконечности. Такой электростатический потенциал простого слоя будет иметь некоторое постоянное значение С на поверхности 5, причем нетрудно показать, что и ( А) будет давать гармоническую функцию вне 5 и будет стремиться к нулю на бесконечности. [6]
В силу единственности решения внутренней задачи Дирихле отсюда будет следовать, что ограниченная функция и единственным образом определяется в О своими значениями на ее границе. А отсюда следует единственность решения внешней задачи Дирихле в классе функций, стремящихся к нулю при Я - оо. [7]
При помощи обычных рассуждений доказывается единственность решения внешней задачи Дирихле. Существование решения задачи сводится к существованию решения внутренней задачи Дирихле, а это последнее может быть доказано при общих предположениях о поверхности при условии непрерывности граничных данных. [8]
Но это привело бы к тому, что V 0 по всей области т, поскольку в противном случае V должна была бы принять положительный максимум или отрицательный минимум внутри области. Тем же путем можно доказать и единственность решения внешней задачи Дирихле, допустив, что V регулярна в бесконечности. [9]
Пользуясь формулой ( 106), можно доказать единственность решения внешней задачи Неймана при условии правильно сти нормальной производной [ ср. [10]
Переходя к решению внешней задачи Дирихле, мы видим, что в силу теоремы 3 не при любой граничной функции можно найти распределение диполей, дающее решение этой задачи. Это объясняется тем, что, как легко видеть, всякий потенциал двойного слоя ( 12 34) стремится к нулю на бесконечности, а мы в § 32 доказали существование и единственность решения внешней задачи Дирихле, предполагая решение всего лишь ограниченным на бесконечности. При граничной функции, удовлетворяющей условию ( 12 35), существует решение внешней задачи Дирихле в виде потенциала двойного слоя. [11]
Если функция и ( Р) была ограничена, то а ( Р) также ограничена. По теореме о единственности решения внутренней задачи Дирихле отсюда будет следовать, что ограниченная функция и единственным образом определяется в G своими значениями на границе. А отсюда следует единственность решения внешней задачи Дирихле в классе ограниченных функций. [12]
Далее, из ( 12) и ( 27) вытекает, что ее правильная нормальная производная на S изнутри равна нулю. Отсюда, так как решение внутренней задачи Неймана единственно с точностью до аддитивной постоянной, заключаем, что F0) ( z) const Ct, z e G. Но тогда, в силу единственности решения внешней задачи Дирихле ( см. § 30.1), y0) ( z) - Ctf zeff, и, следовательно, ц0 ( г) 0, z e 5, что невозможно. [13]