Cтраница 1
Единственность неподвижной точки получаем независимо от полноты пространства. [1]
Справедливость утверждения следует из монотонности и ограниченности последовательности, а также единственности неподвижной точки. [2]
III был доказан принцип сжатых отображений, в котором устанавливалось существование и единственность неподвижной точки оператора сжатия А. Если же не требовать единственности неподвижной точки, то условие сжимаемости оператора А может быть несколько ослаблено. [3]
Сходимость последовательности ( 2) определяется принципом сжимающих отображений - теоремой о существовании и единственности неподвижной точки у отображения А полного метрич. [4]
Справедливость Ь) вытекает из условия 1), которое можно записать в форме Qo ( 0) 0, и единственности неподвижной точки оператора Qo - Наконец, с) следует из того, что выбор величины е неограничен снизу и поэтому ее можно взять сколь угодно малой. [5]
Для доказательства непрерывной зависимости при значении параметра АО обычно используется следующая процедура. Предполагается единственность неподвижной точки при значении Хо, а затем доказывается, что свойство компактности отображения Т равномерно по отношению к компактным множествам, содержащим KQ. [6]
III был доказан принцип сжатых отображений, в котором устанавливалось существование и единственность неподвижной точки оператора сжатия А. Если же не требовать единственности неподвижной точки, то условие сжимаемости оператора А может быть несколько ослаблено. [7]
Соответствующие примеры могут быть продолжены, но все же они не очень многочисленны, поскольку далеко не всегда имеется сжимаемость. В настоящем разделе излагается метод вспомогательных отображений, позволяющий расширить применение критерия о существовании и единственности неподвижной точки на несжимающие отображения. Ради геометрической наглядности это изложение, как и относящиеся к нему примеры, будет ограничено двумерными точечными отображениями. [8]
Стандартный лапласиан на Rd может быть охарактеризован ( с точностью до умножения на константу) как единственный оператор второго порядка, инвариантный относительно всех изометрий пространства Rd. Естественно поинтересоваться аналогичной ха-рактеризацией для Д / г. В общем случае ответ неизвестен - это связано с упоминавшейся ранее проблемой единственности неподвижных точек. [9]
Ядро не считается симметричным. В основе исследования лежит теорема Шаудера о существовании неподвижной точки при непрерывном преобразовании замкнутого, выпуклого множества линейного, нормированного, полного пространства в его омпактную часть и теорема Каччиополи о единственности неподвижной точки. Автор ведет исследование параллельно в L2 и в пространстве С непрерывных функций. [10]
Итак, обе последовательности (4.7) сходятся. Пределы этих последовательностей являются неподвижными точками оператора А. Из единственности неподвижной точки вытекает, что пределы последовательностей (4.7) совпадают. Остается применить лемму 4.1 о двух милиционерах. [11]
Описанные выше критерии существования неподвижной точки и особенно критерий, основанный на принципе сжимающих отображений, в тех случаях, когда его удается применить, дает значительные, а иногда и исчерпывающие сведения о поведении изучаемой системы. В качестве примера можно привести произвольную механическую систему с взаимными и собственными комбинированными трениями без падающих участков характеристик трения. К такой системе возможно применение принципа сжимающих отображений, позволяющее установить глобальную устойчивость многообразия состояний равновесия или периодических движений при воздействии на такую систему внешней периодической силы. Применение принципа сжимающих отображений позволяет установить существование и единственность вынужденных колебаний в системе с так называемым конструкционным демпфированием. Соответствующие примеры могут быть продолжены, но все же они не очень многочисленны, поскольку далеко не всегда имеется сжимаемость. В настоящем разделе излагается метод вспомогательных отображений, позволяющий расширить применение критерия о существовании и единственности неподвижной точки на несжимающие отображения. Ради геометрической наглядности это изложение, как и относящиеся к нему примеры, будет ограничено двумерными точечными отображениями. [12]