Cтраница 4
До недавнего времени серьезные применения нелинейных эллиптических дифференциальных уравнений к геометрии и топологии явно отставали. Многие из них связаны с минимальными поверхностями. Например, данное Шеном и Яу доказательство гипотезы положительной массы в общей теории относительности опирается на свойства уравнений минимальной поверхности и приводит к следующей геометрической теореме: если фундаментальная груша трехмерного многообразия М содержит подгруппу, изоморфную фундаментальной группе компактной поверхности рода др. 1, то М не допускает метрики положительной скалярной кривизны. Примерно в это же время Микс и Яу нашли с помощью минимальных поверхностей новые доказательства леммы Дена ( теоремы о петле) и теоремы о сфере - двух фундаментальных результатов трехмерной топологии и, что более важно, получили новый результат - так называемую теорему об эк-вивариантной петле. [46]
Хендрик Казимир: Однажды, после совсем уж дурацкого фильма Тома Микса, приговор Бора прозвучал так: Мне не понравилось это зрелище - оно было слишком невероятно. То, что негодяй удирает с прекрасной девицей, логично - так бывает всегда. То, что под их экипажем обрушивается мост, неправдоподобно, но я охотно принимаю это. То, что героиня остается висеть над пропастью меж небом и землей, еще менее правдоподобно, но я принимаю и это. Я даже с легкостью принимаю за правду, что в этот самый момент Том Микс как спаситель скачет мимо на своем коне. [47]
Теорема о петле относится к случаю, когда вложенная кривая у является негомотопнрй нулю петлей в ЭМ. В комбинации с леммой Дена получаем традиционную формулировку: если ядро гомоморфизма 1C ( ЭМ) - 1С ( М) нетривиально, то в многообразии М существует вложенный диск, граница которого расположена в ЭМ. Наконец, теорема о сфере утверждает, что в случае, когда многообразие М ориентируемо и ТГ2 ( - М) 0, в нем существует вложенная нестягиваемая двумерная сфера Sz, Микс и Яу получили геометрические версии этих теорем для компактных многообразий. А именно, они доказали, что при подходящих метриках на М ( которые всегда существуют) можно так выбрать вложенные диски в ле № ме Дена и в теореме о петле и вложенную сферу S2 в теореме о сфере что они будут иметь минимальную площадь. Существуют эквивариантные формулировки этих теорем, приводящие к доказательству гипотезы Смита: если группа 2, действуе. [48]
Миксом, изучавшими возможность того, что полная минимальная поверхность является вложенной в трехмерное пространство и не имеет самопересечений. Периодические поверхности имеют бесконечную полную кривизну; казалось, что кроме плоскости и катеноида нет других поверхностей с конечной полной кривизной. Коста построил пример поверхности рода 1 с тремя вложенными концами и положил начало дальнейшим примерам. Микс показали, что поверхность Коста является вложенной. В течение следующего десятилетия после публикации работ Коста, Хофф-мана и Микса данная тема стала очень популярной; подробнее этот вопрос обсуждается в статье Хоффмана и Кархера в данном сборнике. [49]
Убедительна ли эта стратегия. Согласована ли она с жизненными циклами товаров, стратегиями конкурентов и состоянием экономики. Лучшая ли основа используется для сегментирования рынка компании. Существует ли четкий критерий оценки сегментов и выбора наиболее привлекательных. Построен ли точный профиль каждого целевого сегмента. Разработаны ли позиционирование и маркетиНг - микс для каждого из них. Оптимально ли распределены маркетинговые ресурсы по всем ключевым элементам маркетинга-микс. Сколько ресурсов выделяется на достижение целей маркетинга - мало, достаточно, слишком много. [50]