Любое трехмерное многообразие

Cтраница 1

Любое трехмерное многообразие М3 с: ( М) может быть реализовано в виде изоэнергетической поверхности некоторой ( не обязательно интегрируемой) гамильтоновой системы. [1]

Швейцер [14] доказал, что на любом трехмерном многообразии в каждом гомотопическом классе векторных полей без особых точек существует гладкое векторное поле класса С1, не имеющее периодических решений. [2]

Основным следствием теоремы Дена-Ликориша является тот факт, что любое трехмерное многообразие можно получить из сферы, вырезая полнотория и вклеивая их снова по другим гомеоморфизмам краев. [3]

Так как расслоение многообразия Н2Х на прямые x X R инвариантно относительно действия этой группы, ясно, что это расслоение опускается до слоения любого трехмерного многообразия, обладающего геометрической структурой по образцу H2 - X1R, на прямые или окружности. [4]

Как мы вскоре увидим, всякое свободное действие конечной группы изометрий сферы S3 можно представить в указанном выше виде. В частности, любое трехмерное многообразие, имеющее геометрическую структуру по образцу S3, является слоением Зейферта. Заметим, что такое многообразие должно быть ориентируемым, так как любой обращающий ориентацию гомеоморфизм сферы S3 имеет неподвижную точку. Это можно доказать, установив, что число Лефшеца такого гомеоморфизма отлично от нуля. [5]

Поверхности г const образуют слоение многообразия Sol с двумерными слоями, которое сохраняется при изомет-риях этого многообразия. Таким образом, любое трехмерное многообразие М, обладающее геометрической структурой по образцу Sol, наследует естественную структуру слоения с двумерными слоями, причем слоями могут быть плоскости, кольца, ленты Мебиуса, торы или бутылки Клейна. [6]

Геометрические аналогии между 2-мерным многообразием ( fg 2dx2, Vg dx1 и 3-мерным вложением с e VgM - g ] 2dx e fg - gndx2 и e fg - ( dxl dx2. [7]

Если сеть изображена ( при использовании сопротивлений, а не квадратных корней. В самом деле, любое трехмерное многообразие может быть редуцировано к Т - сети при проектировании в двумерное. [8]

Однако столь же часто X нельзя получить таким путем, поэтому я и использую термин база, чтобы не вводить в заблуждение и сохранить соответствие с терминологией теории расслоений. Слоеная сплошная бутылка Клейна допускает действие группы S1, оставляющее слоение неизменным, и то же справедливо для слоеного полното-рия. Используя эти утверждения, легко показать, что слоение Зейферта М допускает действие группы S1, сохраняющее слоение, тогда и только тогда, когда можно согласованно ориентировать все слои. Легко показать также, что любое трехмерное многообразие М, допускающее действие группы S1 без неподвижных точек, является слоением Зейферта. [9]

Правда, доказать эквивалентность этого определения исходному определению Зейферта весьма трудно. Определение Зейферта более пригодно для непосредственного использования. Для некоторых из наших семи трехмерных геометрий тот факт, что любое компактное многообразие, допускающее соответствующую геометрическую структуру, должно быть слоением Зейферта, не вызывает особого удивления. R) расслоено на прямые х Х R, х & S ( соотв. Отсюда следует, что любое трехмерное многообразие, обладающее геометрической структурой по образцу S2 X R ( соотв. R), расслоено на прямые или окружности. Если это многообразие компактно, то оно расслоено на окружности. Для других геометрий гораздо менее очевидно, что они порождают слоения Зейферта. Но группы, действующие на Е3 несвободно, конечно, не обязаны сохранять некоторое направление. [10]

Поэтому будет полезно получить более комбинаторное описание таких гомеоморфизмов, например, в терминах каких-либо элементарных операций. Такие операции, называемые скручиваниями Деиа, уже фактически были использованы нами в § 7 в частном случае круга с дырками. В общем случае они определяются ниже и используются для того, чтобы сформулировать и доказать теорему Дена Ликориша о гомеоморфизмах поверхностей. Эта теорема имеет много важных следствий, которые будут обсуждены в этой главе. Наиболее важным для последующего изложения результатом этой главы является следствие 12.4, в котором утверждается существование определенного представления любого трехмерного многообразия с помощью перестроек. [11]

Страницы: 1