Cтраница 2
Для того чтобы доказать, что всякий многоугольник можно, разрезав его предварительно на несколько ч с - тей, преобразовать в другой многоугольник, равновети кий исходному, сначала показывают, что любой многоугольник можно разрезать на конечное число треуго-ь-ников, каждый из которых удается затем преобразовать в прямоугольник, длина которого совпадает со стороной квадрата, равновеликого исходному многоугольнику. Соединив между собой эти прямоугольники, мы тем caivbiM решим задачу о преобразовании многоугольника в квадрат. В результате мы приходим к следующей цепот е преобразований: первый многоугольник - квадрат - - второй многоугольник. [16]
Возьмем внутри многоугольника ABCDE ( рис. 180) произвольную точку О и соединим ее со всеми вершинами. Тогда многоугольник ABCDE разобьется на столько треугольников, сколько в нем сторон. Возьмем один из них, например АОЕ ( покрытый на рисунке штрихами), и на сходственной стороне А Е другого многоугольника построим углы О А Е и О Е А, соответственно равные углам ОАЕ и ОЕА ] точку пересечения GI соединим с прочими вершинами многоугольника A BiCiDiEi. Докажем, что треугольники первого многоугольника соответственно подобны треугольникам второго многоугольника. ААОЕ подобен i - Ei по построению. [17]
Кратко остановимся на обсуждении этого примера. На рис. 3.22, заимствованном из работы Мандельброта, изображена комбинация из двух многоугольников ( полигонов) с очень большим числом сторон. Эта комбинация представляет собой некоторый промежуточный шаг в бесконечной процедуре, когда один из полигонов интенсивно искривляется вокруг себя ( аналогично тому, как это делается при построении кривой, заполняющей плоскость), а второй окаймляет первый. Такие полигоны можно рассматривать как некоторые образы изоскалярных поверхностей. Один из полигонов ( внешний) соответствует границе турбулентной жидкости, внутренний - некоторой изо-скалярной поверхности, расположенной в турбулентной жидкости. Искривления полигонов соответствуют гидродинамическим деформациям. Дальнейшие подробности построения описаны в рассматриваемой работе. Поскольку на каждом шаге конструкции периметры обоих полигонов умножаются на число, большее единицы, то длины соответствующих предельных кривых равны бесконечности. Но оказывается, что степень заполнения плоскости первым многоугольникам больше, чем степень изогнутости второго. Вычисления, проведенные Мандельбротом, дают количественную характеристику этого утверждения. Рассмотренный пример, естественно, носит частный характер. [18]