Cтраница 1
Соседние многочлены системы ( 3) не имеют общих корней. [1]
Каждый многочлен системы, как решение линейного однородного дифференциального уравнения, определен с точностью до постоянного множителя. [2]
Так как каждый из многочленов системы ( 1) является производной от предыдущего многочлена, то нам нужно лишь доказать, что если х проходит через корень а многочлена f ( x), то, независимо от кратности этого корня, до перехода f ( x) и / ( л:) имели разные знаки, а после перехода их знаки совпадают. Если / ( а - е) 0, то f ( х) убывает на отрезке ( а - е, а), а потому / ( а - е) 0; если же / ( а - е) 0, то f ( х) возрастает, и потому f ( а. В обоих случаях, следовательно, знаки различны. [3]
Нормировать систему ортогональных многочленов - значит однозначным образом указать для многочленов системы множитель, с точностью до которого эти многочлены были определены. [4]
Совокупность всех различных вещественных корней на [ а, Ь ] многочленов системы Штурма ( 3) разбивает отрезок [ а, Ь ] на подынтервалы ] о, aj i [ ca aoai... [5]
Обозначим символом со столь большое положительное значение неизвестного х, что знаки соответствующих ему значений всех многочленов системы ( 1) совпадают со знаками их старших коэффициентов. [6]
Более того, многочлен gn ( t), коэффициенты которого определены из системы ( 7), обеспечивает абсолютный минимум функционала ( 8), если многочлены системы ( 7) построены на основе ортогональной системы. [7]
Если мы хотим теперь определить число действительных корней многочлена f ( x), заключенных между а и Ь, а Ь, причем а и b не являются корнями f ( x), но служат, быть может, корнями для других многочленов системы ( 1), то поступаем следующим образом. Тогда интересующее нас число действительных корней многочлена f ( x) будет равно числу действительных корней этого многочлена, заключенных между a - j - e и b - т, т.е., по доказанному выше, равно разности S ( a - he) - - S ( b - r) или меньше этой разности на четное число. [8]
Для того чтобы воспользоваться ею для разыскания общего числа действительных корней многочлена f ( x), достаточно в качестве а взять нижний предел отрицательных корней, в качестве / - верхний предел положительных корней. Ввиду леммы, доказанной в § 23, существует такое положительное число N, быть может и очень большое, что при х N знаки всех многочленов системы Штурма будут совпадать со знаками их старших членов. Иными словами, существует столь большое положительное значение неизвестного х, что знаки соответствующих ему значения всех многочленов системы Штурма совпадают со знаками их старших коэффициентов; это значение х, вычислять которое нет необходимости, условно обозначается символом оо. Существует, с другой стороны, столь большое по абсолютной величине отрицательное значение х, что знаки соответствующих ему значений многочленов системы Штурма совпадают со знаками их старших коэффициентов для многочленов четной степени и противоположны знакам старших коэффициентов для многочленов нечетной степени; это значение х условимся обозначать через - оо. [9]
Для того чтобы воспользоваться ею для разыскания общего числа действительных корней многочлена f ( x), достаточно в качестве а взять нижний предел отрицательных корней, в качестве / - верхний предел положительных корней. Ввиду леммы, доказанной в § 23, существует такое положительное число N, быть может и очень большое, что при х N знаки всех многочленов системы Штурма будут совпадать со знаками их старших членов. Иными словами, существует столь большое положительное значение неизвестного х, что знаки соответствующих ему значения всех многочленов системы Штурма совпадают со знаками их старших коэффициентов; это значение х, вычислять которое нет необходимости, условно обозначается символом оо. Существует, с другой стороны, столь большое по абсолютной величине отрицательное значение х, что знаки соответствующих ему значений многочленов системы Штурма совпадают со знаками их старших коэффициентов для многочленов четной степени и противоположны знакам старших коэффициентов для многочленов нечетной степени; это значение х условимся обозначать через - оо. [10]
Для того чтобы воспользоваться ею для разыскания общего числа действительных корней многочлена f ( x), достаточно в качестве а взять нижний предел отрицательных корней, в качестве / - верхний предел положительных корней. Ввиду леммы, доказанной в § 23, существует такое положительное число N, быть может и очень большое, что при х N знаки всех многочленов системы Штурма будут совпадать со знаками их старших членов. Иными словами, существует столь большое положительное значение неизвестного х, что знаки соответствующих ему значения всех многочленов системы Штурма совпадают со знаками их старших коэффициентов; это значение х, вычислять которое нет необходимости, условно обозначается символом оо. Существует, с другой стороны, столь большое по абсолютной величине отрицательное значение х, что знаки соответствующих ему значений многочленов системы Штурма совпадают со знаками их старших коэффициентов для многочленов четной степени и противоположны знакам старших коэффициентов для многочленов нечетной степени; это значение х условимся обозначать через - оо. [11]