Cтраница 2
В любом вещественно замкнутом поле каждый многочлен нечетной степени имеет по крайней мере один корень. [16]
В любом, вещественно замкнутом поле каждый многочлен нечетной степени имеет по крайней мере один корень. [17]
Из теоремы 2, в частности, вытекает, что всякий многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень. Если бы было не так, то такой многочлен разлагался бы лишь на множители вида х2 - - px - - q, которые в произведении могут лишь дать многочлен четной степени. [18]
Если число п / 2 нечетно, то Р и Q - многочлены нечетной степени. Значит, каждый из них имеет действительный корень, но это невозможно, так как при четном п многочлен я 4 действительных корней не имеет. [19]
Из свойства сопряженности комплексных корней многочлена с действительными коэффициентами следует, что всякий многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень. [20]
Так как всякому комплексному корню многочлена с действительными коэффициентами соответствует комплексно-сопряженный корень, многочлен нечетной степени обязательно имеет хотя бы один действительный корень. [21]
Из свойства сопряженности комплексных корней многочлена с действительными коэффициентами следует, что всякий многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень. [22]
Если в некотором упорядоченном поле К каждый положительный элемент обладает квадратным корнем и каждый многочлен нечетной степени обладает по крайней мере одним корнем, то в результате присоединения элемента i получается алгебраически замкнутое поле. [23]
Доказать, что: а) график всякого четного многочлена с положительными коэффициентами обращен выпуклостью вниз; б) график всякого многочлена нечетной степени, отличного от линейного, имеет хотя бы одну точку перегиба. [24]
Мы используем следующие свойства поля вещественных чисел R: это - упорядоченное поле; всякий положительный элемент является квадратом, и всякий многочлен нечетной степени из R [ X ] имеет корень в R. Позднее мы рассмотрим упорядоченные поля в общем случае и наши рассуждения окажутся применимыми к любому упорядоченному полю, обладающему перечисленными выше свойствами. [25]
Это утверждение верно для всех непрерывных функций. С его помощью нетрудно, например, доказать, что всякий многочлен нечетной степени имеет вещественный корень. Например, кубическое уравнение х3 ах2 - - Ьх с 0 всегда имеет хотя бы одно решение, так как левая часть при больших по модулю и отрицательных х меньше нуля ( слагаемое х3 перевесит все остальные), а при положительных больших х станет больше нуля. [26]
Полученное противоречие доказывает, что заданное уравнение имеет только один вещественный корень. Существование хотя бы одного вещественного корня следует из того, что / ( х) х3 Зх - 5 - многочлен нечетной степени. [27]
Для того чтобы воспользоваться ею для разыскания общего числа действительных корней многочлена f ( x), достаточно в качестве а взять нижний предел отрицательных корней, в качестве / - верхний предел положительных корней. Ввиду леммы, доказанной в § 23, существует такое положительное число N, быть может и очень большое, что при х N знаки всех многочленов системы Штурма будут совпадать со знаками их старших членов. Иными словами, существует столь большое положительное значение неизвестного х, что знаки соответствующих ему значения всех многочленов системы Штурма совпадают со знаками их старших коэффициентов; это значение х, вычислять которое нет необходимости, условно обозначается символом оо. Существует, с другой стороны, столь большое по абсолютной величине отрицательное значение х, что знаки соответствующих ему значений многочленов системы Штурма совпадают со знаками их старших коэффициентов для многочленов четной степени и противоположны знакам старших коэффициентов для многочленов нечетной степени; это значение х условимся обозначать через - оо. [28]