Cтраница 1
Последний многочлен fm является отличной от нуля константой. [1]
Последний многочлен, fs ( x), не имеет действительных корней. [2]
Поэтому Нп только множителем отличается от этого последнего многочлена. [3]
Здесь мы замечаем, что если s6, то все коэффициенты последнего многочлена суть нули. [4]
Поскольку степень этого многочлена меньше степени / - 1 многочлена деления круга ( p (), а последний многочлен неприводим, то многочлены f ( x) и ф ( л:) взаимно просты. [5]
Если какой-либо неприводимый многочлен yk ( X) входит множителем в одни инвариантные многочлены и не входит в другие, то в эти последние многочлены мы вписываем yk ( X) с нулевым показателем. [6]
В этом случае в ряде ( 29) в силу равенств ( 21) степень каждого многочлена / j ( c) ( j 2, , п 1) меньше на единицу степени предыдущего fj-i ( u) и, тем самым, степень последнего многочлена / г () ( т - п 1) равна нулю, т.е. fn i ( cj) const 7 О - Поэтому ряд ( 29) в регулярном случае является обычным рядом Штурма. [7]
У множителя v ( х) х2 - - vtx v2 мы должны иметь I fi I 4, и2 4, согласно результату упр. Но деление показывает, что последний многочлен делителем не является, значит, и ( х) - неприводимый многочлен. Поскольку мы уже тремя различными способами доказали, что этот многочлен неприводим, маловероятно, чтобы он имел какие-либо делители. [8]
Из установленной в предыдущем п аффинной неэквивалентности простейших поверхностей второго порядка в силу замечания, сделанного там в начале доказательства, следует, что все семнадцать простейших многочленов предыдущего параграфа аффинно различны, кроме, может быть, многочленов [2], [10] и [16], поскольку поверхности, соответствующие последним многочленам, тождественны. Покажем, однако, что многочлены [2], [10] и [16] также аффинно различны. [9]
Сеге начал с исследования так называемых форм Теплица); с ними он связал многочлены, ортогональные на единичной окружности. При помощи весьма простого соотношения он перешел от этих многочленов к многочленам, ортогональным на отрезке [ - 1, 1], и нашел для этих последних многочленов асимптотические формулы как вне отрезка, так и на нем. Наконец, он рассмотрел многочлены, ортогональные на замкнутой аналитической кривой, и решил для них аналогичные задачи. [10]