Cтраница 1
Интерполирующий многочлен имеет, вообще говоря, вторую степень, и его графиком является парабола. [1]
Однако последовательная интерполяция завышает степень интерполирующего многочлена; например, если по обоим направлениям берется двухточечная интерполяция. Многочлен минимальной степени получается при треугольной интерполяции. [2]
Следует подчеркнуть, что возможность построения интерполирующего многочлена не зависит от предположений х - i i / z, г / j - z / j i [ &. В общем случае получается лишь несколько более громоздкая формула. [3]
Это равенство называют формулой Лагранжа для интерполирующего многочлена Рп, а множители 4 ( д:) называют лагранжевыми многочленами влияния соответствующих узлов интерполирования или, более сокращенно, множителями Лагранжа. [4]
Если интерполируемая функция четная, то естественно искать четный интерполирующий многочлен. Точно так же для нечетных интерполируемых функций естественно разыскивать нечетный интерполирующий многочлен. [5]
В случае, когда две стороны треугольника или соответственно три ребра тетраэдра направлены вдоль координатных осей, интерполирующий многочлен может быть явно записан также с помощью аппарата разделенных разностей для функций многих переменных. [6]
Интерполирующий многочлен Рп имеет одинаковое значение с ним в 1 узлах Х, и разность / - Рп будет многочленом степени не больше п, обращающимся в нуль по меньшей мере в п 1 точке. [7]
В теории интерполяции имеется теорема [38], которая утверждает, что существует один интерполирующий полином данной степени п, принимающий заданные п 1 значения в соответствующих я - f - 1 точках. Этот интерполирующий многочлен задается формулой Ньютона или Лагранжа, которые отличаются только формой записи. [8]
Эта формула выведена в предположении, что Хг - Хг 1 / г, г / j - z / j iiA для всех i и /, но аналогичный результат может быть получен и в общем случае. Этот способ построения интерполирующего многочлена очевидным образом обобщается на случай большего числа независимых переменных. [9]
D ( x) тождественно равен нулю. Тем самым доказана однозначность интерполирующего многочлена. [10]
Сначала будут получены необходимые представления интерполирующего многочлена и погрешности интерполирования при произвольно расположенных узлах. [11]
Если интерполируемая функция четная, то естественно искать четный интерполирующий многочлен. Точно так же для нечетных интерполируемых функций естественно разыскивать нечетный интерполирующий многочлен. [12]
Перед вычислением значения функции у / ( е) составляется таблица конечных разностей. Эта часть программы приведена в § 8.2. К моменту ее окончания значение переменной к определяет степень интерполирующего многочлена. [13]
Однако нас интересует не каждый конкретный случай, а все те же задачи: как найти аналитическое выражение исходной информации и как хотя бы приближенно определить значение искомой функции в промежуточных точках. Исходя из этого, рассмотрим интерполяционные формулы для функций двух переменных. Если задана некоторая система точек на плоскости и значения функций в этих точках, то построение интерполирующего многочлена от двух переменных наталкивается на следующие затруднения. [14]
Следовательно, число узлов интерполяции не может быть произвольным. Соответствующая ему система линейных уравнений имеет гораздо более сложный детерминант, чем детерминант в случае одной переменной. Поэтому расположение узлов интерполяции не произвольно, а подчинено довольно сложным ограничениям. Например, очевидно, что при построении линейного интерполирующего многочлена три узла интерполяции, его определяющие, не должны лежать на одной прямой. [15]