Cтраница 1
Множество класса Г есть измеримое по мере Я ] множество, которое может быть покрыто конечной или счетной системой множеств, являющихся существенными границами множеств с конечным периметром. [1]
Множества класса S называются множествами, измеримыми в смысле Лебега, а мера ъ на S, являющаяся пополнением меры р, - лебеговской мерой. Самое меру у - также называют обычно лебеговской. [2]
Поскольку каждое множество класса а строится из элементов, то возник вопрос об исследовании строения самих элементов, в частности о существовании в каждом классе Ка такого основного топологич. [3]
Докажите, что всякое множество класса 62 отличается от некоторого Fa - или G - множества не более чем на счетное множество. [4]
Объединение, или верхняя грань, всех множеств класса Л, определяется как множество всех точек, которые принадлежат хотя бы одному А. [5]
Возможность изучения такого процесса требует умения выделить его из всего множества класса явлений. Для этого необходимо и достаточно записать такие дополнительные условия ( условия однозначности), математическая формулировка которых, соответствуя физическому ( технологическому) содержанию конкретного ( частного) изучаемого процесса, позволяет определить значение соответствующих ему констант в семействе решений этих уравнений. Это равносильно переходу от решения дифференциальных уравнений к решению соответствующих интегральных уравнений. При этом мы будем полагать, что при решении конкретной краевой задачи, закономерности которо описываются совокупностью дифференциальных уравнений и условий однозначности ( начальных и граничных условий), выполняются условия существования, единственности и корректности, существо которых подробно изложено в работах С. Г. Михлина [115], Ю. С. Очана [126] и других. [6]
Нужно знать лишь количество классов и объем работы на каждом множестве класса. [7]
Понятие неприводимого множества можно ввести также для борелевских множеств высших классов ( множество класса ot называется неприводимым, если ни в какой окрестности своей произвольной точки оно не принадлежит к низшему классу); понятие абсолютного множества данного класса вводится аналогично тому, как оно было введено в § § б и 9 для специального случая G § - и / - множеств. Возникает проблема перечисления ( или по меньшей мере проблема определения мощности) всех топологических типов неприводимых нульмерных множеств заданного класса. Аналогичная проблема возникает и для так называемых Л - множеств. [8]
Роль элементов класса а внутри класса заключается в том, что всякое множество класса а является суммой счетного числа элементов. Эти суммы могут быть своеобразным образом вполне упорядочены, так что каждое слагаемое отделимо множеством более низкого класса от всех последующих. В частности, им было доказано, что в каждом классе существует несчетное число непустых подклассов. [9]
Мы будем использовать здесь без комментариев следующую аксиому выбора: дан непустой класс непустых множеств; тогда существует функция, которая каждому множеству класса ставит в соответствие точку, принадлежащую этому множеству; другими словами, мы всегда можем выбрать точку из каждого множества класса. [10]
Последнее утверждение в особенности неприятно, ибо оно расстраивает не только теорию лебеговской меры, но и теорию борелевских множеств действительной прямой ( всякое множество действительных чисел оказывается борелевским, а точнее, множеством класса Fata) - Таким образом, некоторые крайня нежелательные утверждения о структуре континуума действительных чисел нельзя опровергнуть, не прибегая к той или иной форме аксиомы выбора. [11]
Мы будем использовать здесь без комментариев следующую аксиому выбора: дан непустой класс непустых множеств; тогда существует функция, которая каждому множеству класса ставит в соответствие точку, принадлежащую этому множеству; другими словами, мы всегда можем выбрать точку из каждого множества класса. [12]
X существуют такие целое число п, открытая окрестность U точки х и гомеоморфизм - ф из U на открытое тодмножество в / (, что для всякого открытого V с: U множество Т ( V) состоит из функций g а ф, где g пробегает множество функ-шй класса С на открытом в К. [13]
ЛУЗИНА МНОЖЕСТВО, проективное множество - подмножество полного сепарабельного метрпч. X, совпадает с проекцией множества класса п - 1, расположенного в произведении XXX. [14]