Cтраница 1
Множество топологического пространства называется множеством типа G6, если оно является пересечением счетного числа открытых множеств. [1]
Множество Y топологического пространства X называют относительно компактным или предком-па к т н ы м, если его замыкание Y компактно. Понятие относительной компактности связано с тем пространством X, в котором его рассматривают. [2]
Компонентой множества Y топологического пространства X называют любую компоненту пространства Y, наделенного индуцированной топологией. [3]
ТЕОРЕМА 3.2. Множество топологического пространства открыто тогда и только тогда, когда вместе с каждой точкой оно содержит и некоторую ее окрестность. [4]
ТЕОРЕМА 3.5. Множество топологического пространства замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки. [5]
ТЕОРЕМА 3.24. Множество Y топологического пространства X связано тогда и только тогда, когда в нем одновременно открытыми и замкнутыми множествами являются только Y и пустое множество. [6]
ТЕОРЕМА 5.1. Множество Y топологического пространства X компактно тогда и только тогда, когда каждое его покрытие открытыми в X множествами содержит конечное подпокрытие. [7]
Определение 18.1. Семейство множеств топологического пространства называется центрированным, если каждое конечное его подсемейство имеет непустое пересечение. [8]
Нигде не плотные множества топологического пространства не только сами, по даже их замыкания не имеют ни одной внутренней точки нлп, образно говоря, являются худыми в том смысле, что занимают слишком мало места, поэтому м ряде вопросов какими множествами оказывается возможным пренебречь. Вместе с тем оказывается, что в большинстве из таких вопросов несущественными или худыми целесообразно считать и более широкий класс множеств, чем нигде не плотные. [9]
Известно, что с некоторой общей точки зрения [4.5] математика имеет дело только с множествами, а связи между объектами математического анализа описываются теорией множеств. С этих позиций теория информации изучает количественные характеристики топологических свойств отображений на множествах топологического пространства. [10]
Множества системы 5 называются открытыми множествами топологического пространства X, а их дополнения - замкнутыми множествами. Некоторая совокупность открытых множеств называется базой топологического пространства X, если всякое открытое множество пространства X является объединением открытых множеств из этой совокупности. Измеримым топологическим пространством называется измеримое пространство X, G, ц), в котором а-алгебра G порождаема некоторой системой множеств топологического пространства X. Ал-гебра, порожденная открытыми множествами X, называется борелевской о-алгеброй пространства X, а элементы этой алгебры называются борелевскими множествами. Простыми примерами могут служить борелевские а-алгебры на вещественной прямой R - ( - со, оо) и в я-мерном эвклидовом пространстве Rn. Минимальная а-алгебра, порожденная всеми такими интервалами на R, будет борелевской о-алгеброй на R. Эта 0-алгебра совпадает с минимальной а-алгеброй, порожденной только одним из четырех типов интервалов. Аналогичные утверждения справедливы и в случае R, где в качестве основного класса множеств выступают обычно замкнутые, открытые или полуоткрытые параллелепипеды. [11]
Пусть А - какое-либо множество, 2 - вспомогательное множество индексов, частично упорядоченное так, что любые его два элемента имеют в 2 общий больший. Направлением [ аа ] в А с носителем 2 называется произвольное отображение а - аа множества 2 в А. В хаусдорфовых пространствах каждое направление может сходиться не более, чем к одной точке. В Т0 - или 7-пространствах ( см. [1]) могут существовать направления, сходящиеся к нескольким точкам. Множество F топологического пространства А тогда и только тогда замкнуто, когда все пределы направлений из элементов F принадлежат F ( см. [ 2, стр. [12]