Множество - начальное условие
Cтраница 2
Для заданной системы дифференциальных уравнений первого порядка вида х1 fl ( t x y), у f2 ( t x y), а также для дифференциальных уравнений более высокого порядка вида diff ( y ( x) x n) f ( x y) и множества начальных условий функция DEplot строит кривую решения. [16]
Множество начальных условий - состояний динамической системы, - на котором определено расстояние между каждой парой точек, образует фазовое пространство динамической системы. Это абстрактное пространство, в котором координатами служат величины, описывающие состояние системы. Фазовое пространство систем классической механики, например, характеризующее состояние процесса движения N материальных точек, есть множество, элементом которого является набор положений и скоростей всех точек данной системы. [17]
Поэтому при выполнении одного из условий (2.2.22) положение равновесия у z z2 О твердого тела асимптотически устойчиво по отношению к у для почти всех начальных возмущений. Исключение составляет множество начальных условий ft 0, лебегова мера которого равна нулю. [18]
Поясним причины, вызывающие такое комбинированное применение методов. Назовем областью сходимости метода множество начальных условий, при которых итерации по данному методу сходятся к решению задачи. Применение методов спуска на первоначальном этапе вызвано тем, что обычно они имеют более широкую область сходимости, чем методы, специфические для задачи решения системы уравнений. В то же время последние методы обычно обладают лучшей скоростью сходимости при наличии достаточно хорошего начального приближения; это и обуславливает их применение на заключительном этапе итераций. [19]
Поясним причины, вызывающие такое комбинированное применение методов. Назовем областью сходимости метода множества начальных условий, при которых итерации по данному методу сходятся к решению задачи. Применение методов спуска на первоначальном этапе вызвано тем, что обычно они имеют более широкую область сходимости, чем методы, специфические для задачи решения системы уравнений. В то же время последние методы обычно обладают лучшей скоростью сходимости при наличии достаточно хорошего начального приближения; это и обуславливает их применение на заключительном этапе итераций. [20]
Любая кривая может служить множеством подходящих начальных условий, если она нигде не касается характеристик. [21]
Допустим, что в некоторой точке поля О потенциальная энергия П имеет минимум. Покажем, что при наличии минимума потенциальной энергии можно найти определенное множество начальных условий, при которых координаты и скорость точки во время ее движения остаются ограниченными по абсолютной величине. Этим будет доказано, что точка поля, в которой потенциальная энергия имеет минимум, и есть положение устойчивого равновесия материальной точки. [22]
Таким образом, любая повторяемость состояний системы - временная, регулярные повторения определенных структур динамики невозможны. Из неустойчивости следует и перемешивание на хаотических аттракторах: если выбрать множество близких начальных условий, то через некоторое время ( обратно пропорциональное наибольшему ляпуновскому показателю) эти точки будут равномерно распределены по всему аттрактору. [24]
А теперь предположим, что уравнение ( 40) инвариантно относительно группы G. Пусть ( х; 0) G / ( x) есть множество аналитических начальных условий, инвариантное относительно G. Тогда единственное локальное решение, которое существует, согласно предыдущей теореме, тоже будет инвариантно относительно G. Следовательно, мы имеем локальную теорему существования ( и единственности) для приведенного дифференциального уравнения, полученного методом поиска симметричных решений, если только таковая теорема имеется для первоначальных дифференциальных уравнений. [25]
Поскольку правая часть системы (20.1) при выборе управления в виде (20.2) является многозначной функцией, то это обстоятельство может повлечь за собой математически неопределимое состояние системы. Но физически такое состояние невозможно, поэтому для определения состояния системы необходимо в начальный момент указывать не только множество начальных условий, но и ветвь многозначной функции ( которой является правая часть), определяющую в начальный момент состояние системы. [26]
 |
К постановке задачи синтеза. [27] |
На практике задачу синтеза ставят обычно более узко. Рассматривают не произвольные входные воздействия, а лишь некоторый подкласс, в который включают наиболее существенные. Часто нет необходимости отождествлять множество начальных условий со всем фазовым пространством, т.к. иногда заранее известна область возможных начальных условий и эта область может быть весьма ограниченной. [28]
КАМ-теорема в данном случае преподносит нам сюрприз: она говорит, что существует гораздо больше порядка, чем можно было бы ожидать, исходя из нашего обсуждения. Бблъшая область обладает известной структурой вложенных торов, плотно покрытых траекториями. Исходные торы деформируются лишь весьма слабо. Имеется, однако, малая область ( иными словами, некоторое множество начальных условий), где траектории совершенно хаотичны и могут отклоняться очень далеко от соседних, удерживаемых траекторий. Эта малая область, которая имеет не нулевую меру, является, таким образом, областью неустойчивости. [29]
Когда осциллятор достигает порога х 1, он стреляет: переменная Xk сбрасывается в ноль. N и могут также достичь порога. Следовательно, некоторые осцилляторы могут выстрелить в один и тот же момент времени. Мы предполагаем, однако, что осциллятор в состоянии х 0 ( т.е. немедленно после сброса) не подвержен воздействию со стороны других, так что состояние х 0 является абсорбирующим. Это свойство приводит к идеальной синхронизации: если два осциллятора стреляют в один и тот же момент времени, то в дальнейшем их поведение идентично. В общем случае нельзя исключить существования асинхронных состояний, но Миролло и Строгатц [ Mirollo and Strogatz 1990b ] доказали, что множество начальных условий, соответствующих асинхронным решениям, имеет нулевую меру. Таким образом, с вероятностью единица в популяции устанавливается режим с идеальным совпадением фаз, при котором все осцилляторы генерируют импульсы одновременно. [30]
Страницы: 1 2