Cтраница 1
Множество выделенных эндоморфизмов, соответствующих подстановкам, определяется множеством отображений ф множества V в себя. [1]
Для доказательства достаточно заметить, что множество эндоморфизмов, имеющих конечномерный образ, образует двусторонний идеал. [2]
Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов модуля совпадает с множеством эндоморфизмов, имеющих малый образ. [3]
Дополнительные операции, аналогичные логическим кванторам, и множество эндоморфизмов, соответствующее выполнению подстановок, характеризуются подходящей системой аксиом. [4]
Пусть G - группа и К - квазикольцо, порожденное некоторым множеством эндоморфизмов группы G. Мы допустим еще, что К содержит все внутренние автоморфизмы группы G. В таком случае все А - допустимые подгруппы из G оказываются нормальными делителями в G, и неприводимость здесь совпадает с сильной неприводимостью. G подгруппа gL является нормальным делителем. [5]
Если А В, то Ф ( А, В) есть множество эндоморфизмов группы А. Относительно введенного выше действия Ф ( А, А) образует группу, которую будем называть группой эндоморфизмов. Таким образом, в множестве Ф ( А, А) имеется два действия: действие, введенное выше, и действие суперпозиции ( см. гл. В настоящем параграфе, говоря о действии в Ф ( А, А), будем все время иметь в виду действие, определенное выше. [6]
Пусть V - конечномерное векторное пространство над совершенным полем и F - некоторое множество эндоморфизмов пространства V предположим, что пространство V, рассматриваемое как операторное векторное пространство с областью операторов F, полу просто. Тогда, если эндоморфизм А из F перестановочен со всеми элементами из F, то он полупростой. [7]
Эндоморфизмом полугруппы S называется гомоморфизм ф: S - S. S) обозначает множество эндоморфизмов полугруппы S. EndL ( S) представляет собой подмножество и даже подполугруппу в FL ( S) ( см. пункт 1.4 и гл. [8]
Обозначим через 0 нулевой эндоморфизм ф, для которого 1тф - о, и через 1-единичный эндоморфизм if, для которого ЦА - - А для всех А. По отношению к названным операциям множество эндоморфизмов образует алгебру над К, которую мы обозначим через End ( / /); 0 и 1-нулевой и единичный элементы этой алгебры. [9]
Предположим теперь, что основное поле К совершенно, что пространство V-конечной размерности и что все г 0 Л) - полупростые эндоморфизмы. Обозначим через Е множество этих эндоморфизмов; тождественное отображение множества Е в множество эндоморфизмов пространства V определяет на V структуру векторного пространства с операторами. Согласно следствию предложения 2, это векторное пространство с операторами полупростое. [10]
Как извеотно, этот вопрос связан о перестановочностью операций данной алгебры. Однако в случае свободных алгебр, следуя [22], можно определять все операции алгебры над ее эндоморфизмами так, что результат является снова эндоморфизмом. Тогда отдельные множества эндоморфизмов могут быть превращены в алгебры, сигнатура которых помимо сигнатурных операций основной алгебры содержит еще умножение эндоморфизмов. В главе У изучаются структуры идеалов одной из таких алгебр - алгебры ограниченных эндоморфизмов. [11]
Обратно, пусть разрешающее множество существует. Поскольку категория D полна в малом, то для этого множества существует объект произведения w Tiki. По предположению, множество эндоморфизмов D ( w w ] объекта w мало, а категория D полна. [12]