Cтраница 1
Любое непустое открытое множество в ( R p) есть объединение не более чем, счетного семейства открытых непересекающихся интервалов. [1]
Любое непустое открытое множество в А плотно. [2]
Аналогично устанавливается топологический вариант теоремы об отделяющей гиперплоскости: для любого непустого открытого множества X и любого не пересекающегося с ним непустого выпуклого множества Y существует отделяющая замкнутая гиперплоскость. [3]
Множество А коплотно в X тогда и только тогда, когда любое непустое открытое множество в X содержит точки дополнения множества А. [4]
Множество А нигде не плотно в X тогда и только тогда, когда любое непустое открытое множество в X содержит непустое открытое подмножество, не пересекающееся с множеством А. [5]
Отметим, что в силу такого же рассуждения существует не более одного квазипродолжения относительно любого непустого открытого множества в R2 без предположения о связности. Эти авторы также отметили, что получаются аналогичные результаты, если значения функции g ( и /) принадлежат произвольной абелевой топологической группе, например R ( см. гл. [6]
Схема называется неприводимой, если ее топологическое пространство X неприводимо, то есть в нем любое непустое открытое множество всюду плотно. [7]
Всякое нормированное пространство локально выпукло. Действительно, в нем любое непустое открытое множество содержит некоторый шар. Таким образом, всякое нормированное пространство локально ограничено и локально выпукло. Можно показать, что, по существу, нормированными пространствами и исчерпывается класс пространств, обладающих обоими этими свойствами. Именно, назовем линейное топологическое пространство Е нормируемым, если та топология, которая имеется в Е, может быть задана с помощью некоторой нормы. Имеет место следующая теорема: всякое отделимое локально выпуклое и локально ограниченное линейное топологическое пространство нормируемо. [8]
Легко видеть, что это определение корректно, т.е. класс множеств меры нуль не зависит от выбора римановой метрики. Множество, дополнение которого имеет в М меру нуль, всюду плотно, т.е. имеет непустое пересечение с любым непустым открытым множеством. [9]