Cтраница 1
Ограниченное замкнутое выпуклое множество, содержащее внутренние точки, называется выпуклым телом. [1]
Каждое ограниченное замкнутое выпуклое множество л имеет по крайней мере одну крайнюю точку. [2]
Тем самым, для случая ограниченного замкнутого выпуклого множества Q основная теорема доказана. [3]
Поэтому, если в качестве ограниченного замкнутого выпуклого множества S взять шар в L2 [ a, b ] с центром в нуле и радиусом, равным правой части ( 8), то будут выполнены все условия теоремы Шаудера. [4]
Если оператор А компактен и отображает в себя ограниченное замкнутое выпуклое множество М из X, то уравнение х Ах имеет в М по крайней мере одно решение. Если множество М компактно, то достаточно, чтобы оператор А был непрерывным. [5]
Пусть X - рефлексивное банахово пространство, М С X - ограниченное замкнутое выпуклое множество. [6]
Теорема Брауэра гарантирует существование неподвижной точки у непрерывного оператора, отображающего в себя ограниченное замкнутое выпуклое множество. Интересно, что принцип Биркгофа-Тарского [7] в данном случае гарантирует существование неподвижной точки без предположения о непрерывности. [7]
Доказать, что р ( х) достигает своего наименьшего значения на каждом ограниченном замкнутом выпуклом множестве. [8]
ШАУДЕРА ТЕОРЕМА - один из принципов неподвижной точки: если вполне непрерывный оператор А отображает ограниченное замкнутое выпуклое множество К банахова пространства X в себя, то существует по крайней мере одна точка г. Я такая, что Ахх. [9]
Таким образом, можно определить оператор Ф, действующий в пространстве C ( OrJ по формуле ту Ф ( Ф) и отображающий ограниченное замкнутое выпуклое множество функций Ф в себя. [10]
Существуют и другие обобщения принципа Шаудера, в том числе на многозначные отображения, однако во всех случаях необходимо предполагать выпуклость множества С, без чего теорема Шаудера и ее обобщения становятся неверными. Возможно комбинирование принципа Ша-удера и принципа сжимающих отображений. Пусть оператор F, преобразующий ограниченное замкнутое выпуклое множество С банахова пространства X в себя, можно представить в виде FjF1 F. [11]
Усиливая требования, предъявляемые к пространству, можно ослабить ограничения, налагаемые на оператор. Пусть банахово пространство равномерно выпукло ( напр. F - нерастягнвающий оператор, преобразующий ограниченное замкнутое выпуклое множество СаХ в себя. [12]
Гможно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность. Единичный шар в пространствах Lp ( / oo) слабо компактен. Если единичный шар в пространстве слабо компактен, то слабо компактным будет каждое ограниченное замкнутое выпуклое множество. [13]