Cтраница 1
Равномощные множества называются также эквивалентными. [1]
Базы являются независимыми равномощными множествами. Мощность базы называется рангом матроида. [2]
U N - равномощные множества, так как отображение N Э n i - ( n - 1) 6 В есть биекция. [3]
Подобно тому как в общей теории множеств равномощные множества считаются равнозначными, так в теории групп изоморфные группы рассматриваются как несущественно различные. Все понятия и предложения, которые определяются и доказываются на основе соотношений, заданных на некотором множестве, могут быть непосредственно перенесены на любое изоморфное множество. [4]
Доказать, что если К, L - равномощные множества, то группы FK, FL, определенные в задаче 5.3.3, изоморфны. [5]
Оставалась все-таки надежда, что нелинейную нижнюю оценку сложности можно получить, рассматривая такую сеть с п входами и п выходами, для которой несущественна информация о том, какой именно вход с каким выходом должен соединяться, но зато имеется возможность любое множество входов соединить непересекающимися цепями с любым равномощным множеством выходов. Этим путем пытался идти Э. И. Нечипо-рук, пока не обнаружил, что число ребер такой сети может быть сделано порядка / г, а значит, этот путь для получения нелинейных нижних оценок сложности тоже закрыт. [6]
В одном месте канторово определение мощности не вполне отвечает современным требованиям. Мощностью Кантор назвал то, что является общим для равномощных множеств - весьма шаткое понятие. [7]
По Кантору, натуральные числа являются частным случаем более общего понятия, мощности. Множества, которые можно взаимно однозначно отобразить друг на друга, называются равномощными; мощность - - это то, что является общим для равномощных множеств. Мощности можно складывать, при этом множества, представляющие эти мощности ( и не содержащие общихfэлементов), объединяются. По такому же рецепту выполняется перемножение мощностей и возведение их в степень. Аналогично можно прийти к понятию степени. [8]
Но, как было там же показано, невозможно построение вполне безэнтропийных механизмов ни молекулярного, ни системного уровня и, следовательно, тем менее осуществимо создание антиэнтропийных механизмов. Здесь кончается возможность самостоятельного прогресса автоматов за счет улучшения термодинамических параметров ум, SM, Sm, которые единственно имеются в его распоряжении. Это те же самые параметры, которыми располагает конструктор, создающий любую машину. Но мыслящий мозг обладает по меньшей мере одним дополнительные параметром 5, который мы еще не умеем создавать в машине. Именно это образует глубокий разрыв между мозгом и любым механизмом, построенным из атомно-молекулярного материала и действующим в границах обычной статистики. Следует, однако, учесть, что антиэнтропия человеческого мозга и сознания, присущая отдельному индивидууму, в полной мере развивается только в человеческом обществе. Поэтому нужно сравнивать не отдельный мозг и отдельную кибернетическую машину, а два замкнутых равномощных множества мыслящих механизмов и мыслящих существ ( людей) на временном интервале, достаточном для их прогресса. Винера возможность самостоятельного неконтролируемого машинного прогресса, как известно, возбуждала реальное опасение перед возможным столкновением человеческого и машинного общества в будущем. Но вопрос о возможности самостоятельного прогресса автоматов в конечном счете сводится к тому, возможно ли самопроизвольное появление у них антиэнтропии. Без этого свойства автоматы не смогут мыслить в нашем человеческом смысле слова и будут опасны для современного людского общества не более, чем дикие животные. У каждого отдельного, сделанного человеком автомата антиэнтропия отсутствует, и если она способна появиться, то только в коллективе автоматов. Мы не знаем, как это возможно, но допустим, что такой гипотетический процесс произошел. Однако если после этого изолировать автоматы друг от друга или нарушить установившееся между ними взаимодействие, то каждый отдельный автомат утратит свою антиэнтропию и будет представлять некоторую физико-химическую систему, подчиняющуюся законам макро - и микроскопической термодинамики и статистики. В этом принципиальное отличие любого автомата от человека, способного сохранять свою антиэнтропию даже в изолированном состоянии весьма длительное время, соизмеримое с временем его жизни. Неспособность единичного автомата приобрести индивидуальную антиэнтропию ( или сохранить гипотетически полученную в результате коллективного взаимодействия в автоматном обществе, которое по существу также автомат) существенно меняет границы сравнения автомата с человеком. [9]