Cтраница 1
Модуль конечной длины конечно порожден ( или, что то же самое, является модулем конечного типа), аналогично такому же свойству нетеровых модулей в случае коммутативных колец. [1]
Модуль М называется модулем конечной длины, если он равен О или же обладает простой ( конечной) фильтрацией. По теореме Жор-дана - Гельдера длина такой простой фильтрации однозначно определена; она называется длиной модуля. [2]
Таким образом, в модуле конечной длины самые длинные цепочки-это в точности композиционные ряды. [3]
Тогда ф обладает единственным продолжением до отображения Эйлера - Пуанкаре, определенного на всех модулях конечной длины. [4]
Заметим, что модули конечной длины не меняются при пополнении, ср. [5]
R / J классически полупросто, то свойства ( 3), ( 4) и ( 5) остаются равносильными для любого правого / - модуля М ( см. [45], с. Отсюда вытекает, что модуль конечной длины неразложим тогда и только тогда, когда его кольцо эндоморфизмов локально. [6]
Если радикал Джекобсона / кольца R нильпотентен. R / J классически полупросто, то свойства ( 3), ( 4) и ( 5) остаются равносильными для любого правого - модуля М ( см. [45], с. Отсюда вытекает, что модуль конечной длины неразложим тогда и только тогда, когда его кольцо эндоморфизмов локально. [7]
Доказательства обеих теорем основываются на том, что, заменяя пару Я, Hf ] N на пару HN, N при разных выборах Я и N, мы можем перейти от одного разложения группы в прямое произведение неразложимых подгрупп к другому, или от одного композиционного ряда к другому. По существу, они используют только свойства частично упорядоченного множества подгрупп группы G и могут быть в этой форме аксиоматизированы. Такая трактовка полезна тем, что применима и к модулям конечной длины и дает для них аналог тех же теорем. [8]