Cтраница 1
Связанные модули удовлетворяют условиям обрыва цепей подмодулей при сравнительно слабых дополнительных условиях. Для того чтобы сформулировать эти условия, напомним, что наследственное справа кольцо - это кольцо, все правые идеалы которого являются проективными модулями. Такие кольца являются, конечно, слабо полунаследственными, и поэтому к ним можно применить теорему 0.2.9, из которой следует, что любой проективный модуль над наследственным справа кольцом является прямой суммой конечно порожденных модулей. Применим этот результат к связанным модулям. [1]
Поскольку связанный модуль не содержит ненулевых проективных подмодулей в качестве прямых слагаемых, то в условиях теоремы 1.5 любой связанный подмодуль модуля М является конечно порожденным. [2]
Понятно, что связанные модули образуют периодический в предыдущем смысле класс. Рассмотрим для примера некоторый модуль М над правым FI - кольцом R. Аналогичный критерий выполняется для модуля М над полу - Р1 - кольцом или / г - FI-кольцом, если наложить на М соответствующее ограничение. [3]
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.2. Класс связанных модулей над произвольным кольцом R замкнут относительно гомоморфных образов, расширений, прямых пределов и, в частности, прямых сумм. [4]
Генерируемая система представляется иерархически связанными модулями, каждому из которых поставлена в соответствие определенная функция с соответствующими входными и выходными данными. [5]
Пусть М - конечно связный связанный модуль над наследственным справа кольцом. Тогда любой связанный подмодуль из М ( в частности, сам М) является конечно определенным. [6]
Показать, что конечно связный связанный модуль над произвольным кольцом является конечно определенным. [7]
ТЕОРЕМА 2.3 Произвольный конечно определенный связанный модуль над наследственным ( слева или справа) кольцом удовлетворяет обоим условиям обрыва цепей связанных подмодулей. [8]
Показать, что категория специальных связанных модулей не замкнута относительно взятия ядер гомоморфизмов. [9]
Генерируемая система рассматривается состоящей из иерархически связанных модулей, которым могут быть приписаны выполняемые ими функции. Каждой функции соответствуют входные и выходные данные, которые, в свою очередь, объединяются в агрегаты ( сегменты, записи) и наборы данных. [10]
Вспомогательный управляющий модуль вставляется между двумя любыми связанными модулями. В этом случае вызывающий модуль в схеме запроса обращается не к процедуре, поставляющей элемент входного массива, а к вспомогательному управляющему модулю. Вспомогательный модуль может изменить значения параметров состояний выходных массивов вызываемого модуля ( сделать некоторые из них дополнительно запрашиваемыми); обращается к вызываемому модулю, анализирует результаты его работы; если нужно, проверяет условия переходов; если необходимо, выполняет обращение к модулям вывода или другим модулям семантической обработки, перерабатывающим элементы выходных массивов вызывавшегося модуля, которые в противном случае должны были бы быть подвергнуты буферизации; если не был создан элемент выходного массива, используемый модулем, вызвавшим вспомогательный, обращается повторно к вызываемому модулю; возвращает управление вызывающему модулю, когда создан необходимый ему элемент массива. [11]
На самом деле нетрудно доказать, что конечно связный связанный модуль над произвольным кольцом является конечно определенным. [12]
В этом параграфе мы докажем теорему двойственности для связанных модулей над наследственными кольцами, из которой будет следовать, что любой конечно определенный связанный модуль над таким кольцом удовлетворяет условиям DCC и АСС для связанных подмодулей. Сначала мы установим ряд результатов для произвольных колец, а затем применим эти результаты к наследственным кольцам. [13]
Модули из полупростого класса, ассоциированного с классом связанных модулей, называются несвязанными. Последние можно определить также как модули, не содержащие ненулевых связанных подмодулей. Действительно, если модуль N удовлетворяет этому условию и М - связанный модуль, то связанным будет и любой гомоморфный образ модуля М, и поэтому Нот ( М, N) 0, так что N - несвязанный модуль. [14]
Над областью главных идеалов ( не обязательно коммутативной) любой связанный модуль является строго связанным, и поэтому мы можем применить предложение 2.2 для описания двойственности из предложения 2.1 с помощью функтора Нот. Далее, в этом случае инъективная оболочка / совпадает с телом частных кольца R. Поскольку / является бимодулем, то и К-бимодуль; отсюда следует ( для любого правого jR - модуля Af), что изоморфизм ( 3) является также изоморфизмом левых / - модулей. Если кольцо R - не область главных идеалов, а FI-кольцо, то над ним существуют, вообще говоря, связанные модули, не являющиеся строго связанными. Более детальный анализ инъективной оболочки показывает, что она обладает бимодульной структурой. [15]