Cтраница 3
До сих пор мы упорно сохраняли все аксиомы, которым удовлетворяют обычные числа. Существуют, однако, веские основания, побуждающие отказаться от коммутативности умножения. Действительно, такие операции, как вращения твердого тела в пространстве, некоммутативны относительно своей композиции: для композиции двух вращений весьма существенно, производится ли сначала первое вращение и затем второе или же вращения выполняются в обратном порядке. Композиция рассматривается в данном случае как своего рода умножение. Вращения, если их записать в координатах, являются линейными преобразованиями. Линейные преобразования, поскольку их можно складывать и умножать, служат наиболее важным примером некоммутативных величин. Именно в этом и состоит главная цель теории представлений. Теория некоммутативных алгебр и их представлений была построена Эмми Нетер на новой, чисто концептуальной основе с использованием всех результатов, накопленных в течение десятилетий замечательными по богатству высказанных в них идей трудами Молина, Фробениуса, Диксона, Веддерберна и других авторов. И снова решающую роль играет понятие идеала, сформулированное в различных вариантах. Весьма полезным оказывается также понятие автоморфизмов, т.е. преобразований, которые можно производить в алгебре, не нарушая ее внутренних соотношений. [31]