Cтраница 1
Рациональное число есть отношение двух целых чисел plq, где q положительно. [1]
Рациональное число есть квадрат ( или п-я степень) другого рационального числа тогда и только тогда, когда оба члена несократимой дроби, представляющей это число, является каждый в отдельности. [2]
Так как множество рациональных чисел есть числовое кольцо, то, как показано выше, множество матриц вида ( 2) с рациональными а и b образует коммутативное и ассоциативное кольцо. [3]
Действительно, сумма двух любых рациональных чисел есть рациональное число, а сумма любого рационального и любого иррационального чисел есть иррациональное число. [4]
Доказать, что аддитивная группа всех рациональных чисел есть группа без кручения и, далее, что она может быть представлена в виде объединения возрастающей последовательности циклических подгрупп. [5]
Доказать, что сумма и произведение двух рациональных чисел есть число рациональное. [6]
Дадим существенный для дальнейшего пример, а именно покажем, что множество всех вещественных рациональных чисел есть счетное множество. Расставим все положительные рациональные числа в таком порядке, чтобы сумма числителя и знаменателя не убывала и чтобы знаменатель возрастал в тех группах, в которых упомянутая сумма имеет одно и то же значение. [7]
Мы знаем, что результат сложения, вычитания, умножения и деления ( кроме деления на нуль) двух рациональных чисел есть рациональное число. [8]
В частности, если а и Ь целые, то а: Ь - : - -, т.е. всякое рациональное число есть результат деления целых чисел. [9]
Мы не имеем возможности задерживаться на этом вопросе, заметим только, что уже в элементарной математике можно найти много примеров, когда прямая операция выполнима в некотором классе чисел, в то время как обратная ей операция в этом же классе не выполняется; так, квадрат любого рационального числа есть снова рациональное число, но корень квадратный из рационального числа далеко не всегда является рациональным числом. [10]
Для получения интегралов от них приходится пользоваться приближенными методами и вводить в обиход новые функции, не сводимые к элементарным. Мы не имеем возможности задерживаться на этом вопросе, заметим только, что уже в элементарной математике можно найти много примеров, когда прямая операция выполнима в некотором классе чисел, в то время как обратная ей операция в этом же классе не выполняется; так, квадрат любого рационального числа есть снова рациональное число, но корень квадратный из рационального числа далеко не всегда является рациональным числом. [11]
Согласно этой теореме объединение групп инерции всех критических простых идеалов нормального расширения поля рациональных чисел есть группа Галуа. [12]