Cтраница 1
Морфизм алгебраических групп - это гомоморфизм групп, который одновременно является морфизмом алгебраических многообразий. [1]
Пусть a: G - G - сюръективный морфизм алгебраических групп, В - подгруппа Бореля группы G, и В Т BUJ где Т - максимальный тор. Тогда а ( В) а ( Г) а ( Ви) - подгруппа Бореля группы G и каждая подгруппа Бореля группы Gf получается таким образом. [2]
Характер алгебраической группы G - это просто морфизм алгебраических групп G-Gm. [3]
Конечно, и наоборот, любой р-полином определяет морфизм алгебраических групп Kn - Ga. Злоупотребляя терминологией, мы будем отождествлять полиномы и морфизмы, которые им соответствуют. [4]
Наконец, предположим, что a: G - G - морфизм алгебраических групп. [5]
Остается показать, что если qp: G - G7 - морфизм алгебраических групп, то отображение d ( p: g - g7 сохраняет скобочное умножение. [6]
Это показывает, что): G - GL ( n, / С), где ()) - морфизм алгебраических групп. [7]
Очевидно, что группа всех таких матриц замкнута в Gl ( n К) и гомоморфизм яь-хр ( я) есть морфизм алгебраических групп. [8]
Из ( а) следует, что отображение произведения я: G / ( i X X Gi ( f) - G есть морфизм алгебраических групп. Gi ( r) - замкнутая связная нормальная подгруппа группы G; она также полупроста. Из ( а) следует также, что любая другая группа d ( 1ф1) централизует эту группу, так что пересечение d П GKD G ( o - конечная группа. [9]
Хороший пример, который стоит иметь в виду, доставляет определитель: det: GL ( n, / C) - GL ( 1, К) Gm, являющийся, очевидно, морфизмом алгебраических групп. [10]
К ( Т), так что коморфизм ф инъекти-вен и морфизм ф является доминантным. Следовательно, ф сюръективен, как морфизм алгебраических групп. [11]
Итак, группа G коммутативна. Согласно теореме 15.5 либо G Gs, либо G Gw. В первом случае G - связная d - группа и, следовательно, тор ( теорема 16.2) и, значит, изоморфна Gm. Во втором случае, если char К О, лемма 15.1 В и упражнение 15.11 показывают, что группа G изоморфна Ga. Если char К р 0, то мы заметим, что яь - хр - морфизм алгебраических групп G-G, причем образ Gp связен и не совпадает с G. Однако вовсе не очевидно, что группа G изоморфна Ga. В оставшейся части этого параграфа мы детально изучим строение коммутативных групп экспоненты р и получим требуемую теорему об одномерных группах в качестве побочного продукта. [12]