Cтраница 1
Векторное поле есть часть пространства, каждой точке которого определен некоторый вектор а а ( х у. Модуль а определяет интенсивность поля. [1]
Векторное поле есть часть пространства, в каждой точке которого определен некоторый вектор Ъ а ( х, у, г), координаты его ах, ау, аг - функции х, у, г; например, поле скоростей в данный момент в движущемся теле, поле градиентов данной скалярной функции. Модуль и определяет интенсивность поля. [2]
Векторное поле есть часть пространства, в котором каждой точке принадлежит некоторый вектор ЭД ( вектор поля); через 1211 обозначают силу ( интенсивность) поля в данной точке. Кривые, тангенциальные векторы которых в каждой точке совпадают с вектором 21, называются полевыми или силовыми линиями. [3]
Векторное поле есть часть пространства, в каждой точке которого определен некоторый вектор а а ( х, у, г), координаты его ах, ау, аг - функции х, у, г; например, поле скоростей в данный момент в движущемся теле, поле градиентов данной скалярной функции. Модуль а определяет интенсивность поля. [4]
Векторное поле есть часть пространства, в каждой точке которого определен некоторый вектор а а ( х, у, г), координаты его ак, av, аг - функции х, у, z; например, поле скоростей в данный момент в движущемся теле, поле градиентов данной скалярной функции. [5]
Контравариантное векторное поле есть такое соответствие между контрава-риантными векторами и точками многообразия, когда в каждой точке определен один вектор. В любой заданной координатной системе xi такое поле определяет при однозначные функции v x), которые связаны с соответствующими функциями v ( x) в любой другой координатной системе х уравнениями типа (12.4), где компоненты vivi и частные производные относятся к одной точке. Уравнения (12.4) дают закон преобразования для контравариантного векторного поля. [6]
Значит наше векторное поле есть дифференциальное уравнение второго порядка. [7]
Подчеркнем тут же, что дивергенция векторного поля есть величина скалярная. [8]
Значение циркуляции по контуру площадки зависит от ориентировки последней относительно вихревого вектора ( ротора); оно становится наибольшим, когда площадка перпендикулярна вихрю, ибо тогда проекция последнего на нормаль, равная его модулю, будет наибольшей. Можно сказать, что вихрь в векторном поле есть вектор, направление которого определяет ( перпендикулярно) плоскость, где предел (2.8.1) достигает своего максимума, и модуль которого равен этому максимуму. [9]
Значение циркуляции по контуру площадки зависит от ориентировки последней относительно вихревого вектора ( ротора); оно становится наибольшим, когда площадка перпендикулярна вихрю, ибо тогда проекция последнего на нормаль, равная его модулю, будет наибольшей. Можно сказать, что вихрь в векторном поле есть вектор, нап а-вление которого определяет ( перпендикулярно) плоскость, где предел (2.8.1) достигает своего максимума, и модуль которого равен этому максимуму. [10]
Тогда скорость частицы жидкости, проходящей через точку ( х, у, г), есть вектор вида v ( их ( х, у), vy ( x, у), 0), и соответствующее векторное поле есть поле скоростей. [11]
Мы не приводим доказательство полностью, а проиллюстрируем его некоторыми примерами. Например, любое векторное поле, которое не обращается в нуль в точке m М, в подходящей системе координат имеет вид 9i и, следовательно, является аффинным полем. Так как любое векторное поле есть сумма двух ненулевых полей, все векторные поля аффинные. [12]
По теореме 4.4, ( 3) вещественная часть поля Z есть иифинитезимальыая изометрия. По следствию 4.2 главы 2 каждая инфипитезимальная изометрия многообразия М есть параллельное векторное поле. Ясно, что каждое параллельное векторное поле есть ипфииитезимальная изометрия. [13]
ДО) понимается малый объем, содержащий точку М, а под ( Да) - его поверхность. Эта плотность источника называется также дивергенцией ( расходимостью) векторного поля А и обозначается через div А. Отметим, что дивергенция векторного поля есть величина скалярная, более точно, образует скалярное поле, так как она принимает в каждой точке пространства свое значение. [14]