Cтраница 1
Фурье есть всего лишь одно из многих интегральных преобразований, применяемых в анализе; четвертый - что анализ Фурье есть только иллюстрация теории коммутативных банаховых алгебр... Все они будут при этом правы: коммутативный гармонический анализ можно многими способами включать в объемлющие его разнообразные общие теории, но при каждом тайком включении он теряет какую-нибудь из важных своих черт, утрачивает свое подлинное лицо. В этой статье мы постараемся выделить и подчеркнуть то, что характерно для коммутативного гармонического анализа как для самостоятельной дисциплины, ориентируясь прежде всего на классические ее аспекты и стараясь продемонстрировать хотя бы некоторые из ее связей с другими разделами математики. [1]
Преобразование Фурье есть композиция евклидова преобразования Фурье и преобразования Абеля. В § 10 уже было сказано, что преобразование Фурье переводит свертку (10.1) в поточечное умножение. Следовательно, преобразование Абеля переводит свертку в свертку, более точно, преобразование Абеля есть топологический изоморфизм сверточной алгебры ( 8 /) к с обычной топологией на сверточную алгебру 3) ( A) W с обычной топологией. [2]
Ее преобразование Фурье есть произведение частотной характеристики системы и комплексно сопряженной с ней величины, причем обе должны быть представлены как функции К. Этот метод усредняет эффект от малых нелинейностей и дает наилучшее линейное приближение для реальных условий работы со случайными входными сигналами. [3]
Подобно тому как Фурье есть a mathematical poem... [4]
Следовательно, коэффициенты ряда Фурье есть счетное множество комплексных чисел, которые представляют функцию, удовлетворяющую условию периодичности. [5]
Во-вторых, разложение в ряд Фурье есть представление сигнала бесконечной суммой синусоид, имеющих частоты, кратные основной частоте. Синусоида с бесконечной частотой не существует, равно как и сигнал с бесконечно быстро нарастающим фронтом. Поэтому количество членов в ряде Фурье ( или пределы интегрирования в интеграле Фурье) связано с реальным временем нарастания сигнала - длительностью его переднего фронта. Эта величина должна быть сопоставима с временем нарастания синусоиды с наибольшим номером и соответственно с наиболее высокой частотой. [6]
Таким образом, сглаженный ряд Фурье есть исходный ряд Фурье с коэффициентами, умноженными на соответствующие сигма-факторы. Отметим, что эффект сглаживания достигается за счет того, что при k N сигма-фактор JV - ro члена оказывается равным нулю. [7]
Приближенное представление кусочно-гладких периодических функций частными суммами их рядов Фурье есть приближение тригонометрическими полиномами определенного порядка. [8]
Фурье есть всего лишь одно из многих интегральных преобразований, применяемых в анализе; четвертый - что анализ Фурье есть только иллюстрация теории коммутативных банаховых алгебр... Все они будут при этом правы: коммутативный гармонический анализ можно многими способами включать в объемлющие его разнообразные общие теории, но при каждом тайком включении он теряет какую-нибудь из важных своих черт, утрачивает свое подлинное лицо. В этой статье мы постараемся выделить и подчеркнуть то, что характерно для коммутативного гармонического анализа как для самостоятельной дисциплины, ориентируясь прежде всего на классические ее аспекты и стараясь продемонстрировать хотя бы некоторые из ее связей с другими разделами математики. [9]
Конвективное движение может быть нестационарным даже в том случае, когда внешние условия подогрева не изменяются со временем ( различные процессы установления, самопроизвольные колебания жидкости и пр. При этом характерное время т ( время релаксации или период колебаний), естественно, не является свободным параметром, а число Фурье есть функция остальных параметров подобия. [10]
Мы уже раньше отмечали, что помеха не обладает свойствами гладкости и дифференцируемости, присущими аналитическим функциям. Это обстоятельство заставляет нас отнести помехи в специальную категорию функций по отношению к рядам Фурье. Строго говоря, ряд Фурье есть бесконечный ряд, но его сходимость дает возможность ограничиться при исследовании первыми п членами ряда. Ответ на вопрос, насколько большим следует выбрать это п, полностью определяется аналитическими свойствами функции, которая разлагается в ряд. Если функция всюду непрерывна, но ее производная претерпевает разрыв в некоторой точке, то члены ряда Фурье убывают со скоростью я-2. Кратковременный импульс подвергает опасности сходимость ряда, а формальное разложение бесконечно острого импульса ( дельта-функции) действительно оказывается расходящимся. [11]
Мы уже раньше отмечали, что помеха не обладает свойствами гладкости и дифференцируемости, присущими аналитическим функциям. Это обстоятельство заставляет нас отнести помехи в специальную категорию функций по отношению к рядам Фурье. Строго говоря, ряд Фурье есть бесконечный ряд, но его сходимость дает возможность ограничиться при исследовании первыми п членами ряда. Ответ на вопрос, насколько большим следует выбрать это п, полностью определяется аналитическими свойствами функции, которая разлагается в ряд. Кратковременный импульс подвергает опасности сходимость ряда, а формальное разложение бесконечно острого импульса ( дельта-функции) действительно оказывается расходящимся. [12]
Между ортогональной группой и группой Лоренца имеется топологическое различие, несравненно более резкое, нежели алгебраическое различие в типе квадратичных форм: ортогональная группа принадлежит к числу компактных многообразий, группа Лоренца - не принадлежит. Наиболее разработанным разделом теории групп является теория представлений групп линейными преобразованиями. Представления в гильбертовом конечно - или бесконечномерном пространстве имеют первостепенный интерес для квантовой механики. Если группа конечна, то каждое такое представление распадается на неприводимые части конечной размерности, а вся теория - одно из достославных творений математики - подчиняется соотношениям ортогональности и полноты. Именно они позволяют совершить переход от конечных групп к компактным группам. Теория рядов Фурье есть не что иное, как теория представлений группы вращений окружности. Завороженные красотой и гармонией теории представлений компактных групп, математики на время отошли в сторону от более сложной и менее гармоничной ситуации, с которой им, судя по всему, придется столкнуться при изучении компактных групп. Но группа Лоренца и интерес, проявляемый квантовой механикой к представлениям группы Лоренца в гильбертовом пространстве, возымели свое действие: В. Баргман в Америке, Тельфанд и Наймарк в России мужественно приступили к дерзкой задаче построения теории представлений группы Лоренца в гильбертовом пространстве, а русские математики распространили теорию на произвольные локально ( но не глобально) компактные группы. [13]