Cтраница 2
Произведение любого постоянного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая. [16]
Любая целая положительная степень бесконечно малой величины есть величина бесконечно малая. [17]
Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая. [18]
Произведение ограниченной переменной величины на бесконечно малую величину есть величина бесконечно малая. [19]
Сумма двух, трех и вообще конечного числа бесконечно малых величин есть бесконечно малая: величина. [20]
Сумма ДВУХ, трех и вообще любого неизменного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая. [21]
В частности, произведение постоянной величины на величину бесконечно малую, а также произведение бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина. [22]
Распространять его на нулевую и отрицательные степени нет смысла, гвк как нулевая степень бесконечно малой величины есть постоянное число 1, а отрицательные ее степени суть величины бесконечно большие. [23]
В частности, произведение постоянной величины на величину бесконечно малую, а также произведение ДВУХ бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина. [24]
Операция дифференцирования, естественно, не рассматривается во Введении, но без бесконечно малых и бесконечно больших величин Эйлер обойтись все же не может. Мы уже упоминали - и еще вернемся к этому вопросу, - что в Дифференциальном исчислении Эйлер становится на ту точку зрения, что бесконечно малая величина есть постоянная величина, в точности равная нулю. Во Введении он, видимо, старается уклониться от рассмотрения принципиального вопроса о природе бесконечности. Но там, где ему приходится иметь дело с бесконечно малыми, он выражается о них в стиле школы Лейбница. [25]
Условимся называть участвующую в некотором процессе величину у ограниченной ( в этом процессе), если существует такое постоянное положительное число С и такой момент в нашем процессе, после которого всегда у С. Это определение несколько напоминает собой определение бесконечно малой величины; имеется, однако, существенное различие: бесконечно малая величина должна с течением процесса становиться и оставаться ( по абсолютному значению) меньше любого положительного числа, а ограниченная - только меньше хотя бы одного положительного числа. Отсюда следует, конечно, что всякая бесконечно малая величина есть вместе с тем величина ограниченная. Но обратное утверждение было бы неверно. Так, меняющееся с течением времени расстояние земли ( или любой другой планеты) от солнца есть, очевидно, величина ограниченная, но не бесконечно малая. Таким образом, понятие ограниченной величины должно быть признано более общим ( широким), чем понятие величины бесконечно малой. [26]
Любая бесконечно малая величина есть результат некоторого предельного перехода. [27]
Любая бесконечно малая величина есть результат некоторого предельного перехода. Обычно это приращение величины между двумя последовательно выбранными моментами времени, когда длина разделяющего их временного интервала стремится к нулю. При таком подходе конечное изменение разбивается на бесконечный ряд бесконечно малых изменений. [28]