Cтраница 2
Через полгода после того, как я был зачислен в институт, у меня уже сложилось ощущение, что я знаю Александра Ильича уже целую вечность, и вот летом 1961 года, когда я шел с Александром Ильичом по нынешней улице Петровского, Александр Ильич сообщил мне, что, когда он рассказал Льву Давидовичу Ландау о том, что у него в отделе появился человек ( имея в виду меня), занимающийся релятивистскими волновыми уравнениями, Ландау обругал его за то, что он позволяет молодым людям заниматься такой чепухой, и сказал, что после работ Гельфанда и Наймарка в этой области уже нечего делать. [16]
Примерно к этому же времени также относится публикация первого обзора по геометрии бесконечномерных пространств с индефинитной метрикой, выполненного Гинзбургом и И. Иохвидовым [ У1 ] / 1в тэтЬм обзоре уже частично были отражены некоторые результаты самого начала шестидесятых годов, ставших затем годами бурного роста всей теории. Иохвидова, Наймарка, Шмульяна, Богнара, Кужеля и многих других математиков. Крейна [ XI ], в которой методы индефинитной метрики находят приложение и дальнейшее развитие. [17]
Вполне положительные марковские отображения также образуют категорию, которую мы далее будем называть узкой марковской категорией. В частности, результат взаимодействия квантовой частицы с частицами ( случайной) среды описывается вполне положительным марковским отображением. Далее, по известной теореме Наймарка [6] о продолжении любого разложения единицы до ортогонального выводится [30], что все марковские отображения в коммутативную алгебру фон Неймана или же отображения такой алгебры являются вполне положительными. [18]
Единственное, что удалось сделать в тот момент, - получить формулу обращения, пользуясь формулой Планшереля, которая была уже известна. Я вам уже говорил, что доказательство из первой работы Гельфанда и Наймарка не удавалось обобщить. Причина этого была, грубо говоря, в том, что не было видно прямого способа обращать орисферическое преобразование. Но были найдены другие способы, в поисках которых участвовал Хариш-Чандра, потом был способ Гельфанда и Граева через рисовские интегралы. [19]
Здесь есть естественные вопросы. Он заключается в том, что не просто можно, но и доказательство для любой алгебраической кривой, и, более того, для кривой в л-мерном пространстве, получается почти дословным повторением того доказательства, которое было у Гельфанда и Наймарка. [20]
С 40 - х годов начали пытаться строить гармонический анализ на некоммутативных группах. По-видимому, Дирак первым высказал такую фантастическую идею, что вместо экспонент в случае обычного Фурье-анализа для группы Лоренца, например, нужно рассматривать бесконечномерные представления в гильбертовых пространствах. Узловым моментом была работа Гельфанда и Наймарка; это было примерно в 1948 г. Это была работа об унитарных представлениях группы Лоренца. Речь шла о том, как в более или менее полном объеме построить интеграл Фурье для группы Лоренца. [21]
Последующее стремительное развитие математики вызвало к жизни теорию ортогональных разложений, которая была хорошо известна уже в восемнадцатом веке. В последние сорок лет оно было продолжено в трудах Гельфанда, Крейна и Наймарка в Советском Союзе, Какутани, Като, Куроды и Иосиды в Японии ( и в Соединенных Штатах), группы Бурбаки во Франции, Коложоары и Фойаша в Румынии, Хилле и Филлипса, Фридрихса, фон Неймана, Пэли) и Винера в США. [22]
Между ортогональной группой и группой Лоренца имеется топологическое различие, несравненно более резкое, нежели алгебраическое различие в типе квадратичных форм: ортогональная группа принадлежит к числу компактных многообразий, группа Лоренца - не принадлежит. Наиболее разработанным разделом теории групп является теория представлений групп линейными преобразованиями. Представления в гильбертовом конечно - или бесконечномерном пространстве имеют первостепенный интерес для квантовой механики. Если группа конечна, то каждое такое представление распадается на неприводимые части конечной размерности, а вся теория - одно из достославных творений математики - подчиняется соотношениям ортогональности и полноты. Именно они позволяют совершить переход от конечных групп к компактным группам. Теория рядов Фурье есть не что иное, как теория представлений группы вращений окружности. Завороженные красотой и гармонией теории представлений компактных групп, математики на время отошли в сторону от более сложной и менее гармоничной ситуации, с которой им, судя по всему, придется столкнуться при изучении компактных групп. Но группа Лоренца и интерес, проявляемый квантовой механикой к представлениям группы Лоренца в гильбертовом пространстве, возымели свое действие: В. Баргман в Америке, Тельфанд и Наймарк в России мужественно приступили к дерзкой задаче построения теории представлений группы Лоренца в гильбертовом пространстве, а русские математики распространили теорию на произвольные локально ( но не глобально) компактные группы. [23]