Cтраница 1
Нахождение общего интеграла в точном виде для всего пространства в течение всего времени, разумеется, невозможно. Но для решения поставленного вопроса в этом нет необходимости: достаточно исследовать вид решения вблизи особенности. Тем самым была бы выяснена и другая сторона вопроса - какой характер имеет эволюция метрики пространства-времени в общем решении при приближении к особой точке. [1]
Нахождение общего интеграла исследуемых дифференциальных уравнений, среди которых могут быть нелинейные, представляет большие трудности или вовсе невозможно. В таких случаях иногда пользуются приближенными методами интегрирования. При этом для практических целей не требуется находить аналитическое выражение искомой функции, а достаточно знать ее численное значение в различные моменты. Имеется много численных приемов для нахождения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь укажем простейший способ решений этой задачи, который предложен Эйлером [64] и применительно к построению процесса даже для сложных систем регулирования обычно дает удовлетворительные результаты. [2]
Нахождение общих интегралов уравнений теории трансверсально-изотропных оболочек представляет довольно сложную задачу, и поэтому важную роль приобретают различные приближенные методы их интегрирования. [3]
Нахождение общих интегралов уравнений теории трансверсально-изотропных оболочек представляет довольно сложную задачу и поэтому важную роль приобретают различные приближенные методы их интегрирования. [4]
Для нахождения общего интеграла уравнения ( 1) необходимо в формуле ( 3) после интегрирования перейти к исходным переменным ж, у. Поэтому, если частное решение соответствующего однородного уравнения известно, то решение неоднородного уравнения ( 1) всегда может быть найдено в квадратурах. [5]
Укажем другой способ нахождения общего интеграла уравнения в полных дифференциалах, который часто оказывается на практике более удобным. [6]
А, Чтобы получить решение, удовлетворяющее условию ( 1), надо ( как при нахождении общего интеграла уравнения Гамильтона - Якоб и - см. I, § 47, примечание на стр. [7]
Если найден интегрирующий множитель ц, то интегрирование данного уравнения сводится к умножению обеих его частей на i и нахождению общего интеграла полученного уравнения в полных дифференциалах. Однако может случиться, что при этом мы теряем некоторые решения данного уравнения ( эти решения могут быть особыми) или получаем посторонние решения. Первое может иметь место, когда ц во всех точках некоторой кривой обращается в бесконечность, второе - когда обращается в нуль ( почему. [8]
Если найден интегрирующий множитель ц, то интегрирование данного уравнения сводится к умножению обеих его частей на л и нахождению общего интеграла полученного уравнения в полных дифференциалах. Однако может случиться, что при этом мы теряем некоторые решения данного уравнения ( эти решения могут быть особыми) или получаем посторонние решения. Первое может иметь место, когда л во всех точках некоторой кривой обращается в бесконечность, второе - когда ц обращается в нуль ( почему. [9]
Понятия интеграла и общего интеграла, строго говоря, нуждаются в дополнительных разъяснениях. Но мы не будем этим заниматься, поскольку наиболее естественной основой теоретического исследования дифференциальных уравнений является теорема существования и единственности решения при заданном начальном условии. Нахождение общего интеграла, что мы делали выше для уравнений частного вида, является, конечно, весьма удобным практическим способом построения решений дифференциальных уравнений. [10]
Таким образом, все рассматривавшиеся ранее случаи упрощения интегрирования уравнений движения, основанные на использовании циклических переменных, охватываются методом разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. К ним добавляется еще ряд случаев, когда разделение переменных возможно, хотя координаты не являются циклическими. Все это приводит к тому, что метод Гамильтона-Якоби является наиболее могущественным методом нахождения общего интеграла уравнений движения. [11]