Cтраница 3
Следовательно, из равенства А Ах 0 вытекает х 0, что и означает невырожденность матрицы А А. [31]
Следовательно, старший коэффициент ( 24) не может обращаться в нуль в силу невырожденности матриц. [32]
Как известно, необходимым и достаточным условием разрешимости системы линейных алгебраических уравнений при любой правой части является невырожденность матрицы системы. [33]
В этом случае более высокой размерности трансверсальность уже не так легко увидеть, и, разумеется, настоящая проверка должна быть алгебраической, аналогично тому как настоящий критерий того, что функция морсовская, состоит в невырожденности матрицы ее вторых частных производных. Вычислительные правила для такой алгебраической проверки даны в следующей главе. Все же стоит определить точную форму поверхности, изображенной на рис. 7.11, для случая нашего специального семейства, чтобы сделать явным, если и не доказать, тот факт, что оно действительно трансверсально. [34]
Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной. Невырожденность матрицы эквивалентна тому, что ее вектор-строки ( равно как и вектор-столбцы) линейно независимы. [35]
Коши - тогда вектор с задается при ее постановке. При использовании этого метода нужно проверять невырожденность матрицы Q ( в MATLAB e это достаточно просто) и простоту жордановой формы для А ( некоторые указания по этому поводу даны в конце разд. [36]
Если определитель D ( A) матрицы А равен нулю, то матрица А называется вырожденной; если же D ( A) Ф О, то невырожденной. Из теоремы 12 мы видим, что невырожденность матрицы является необходимым и достаточным условием для существования матрицы, обратной к ней. [37]
Если определитель D ( A) матрицы А равен нулю, то матрица А называется вырожденной; если же D ( A) Q, то невырожденной. Из теоремы 12 мы видим, что невырожденность матрицы является необходимым и достаточным условием для существования матрицы, обратной к ней. [38]
Множество М ( п) разбивается на классы подобных матриц, а каждый класс описывается набором элементарных делителей. Элементарные делители вида V отсутствуют в силу невырожденности матриц. [39]
Иногда оказывается, что проверка невырожденности матрицы выигрышей игры затруднительна. Имея в виду такие случаи, желательно исключить проверку невырожденности матрицы из решения игры. В связи с этим представляется полезной следующая лемма. [40]
Этот список можно значительно удлинить, особенно если заглянуть в последующие главы. Каждое условие в этом списке эквивалентно любому другому и влечет за собой невырожденность матрицы А. [41]
Довольно общий принцип построения областей, локализующих собственные значения, основан на следующей идее. Пусть А - произвольная матрица и В ( Л) - некоторое арифметическое условие, выполнение которого достаточно для невырожденности матрицы А. Если X является собственным значением, то матрица А - КЕ вырожденная. Это и определяет некоторую область, в которой должны находиться все собственные значения. [42]
Преимущество этой формулировки задачи состоит в том, что для ее численного решения можно использовать метод верхней релаксации с проектированием. Другой возможностью является использование для решения задач (3.48), (3.49) алгоритма Удзавы, сводящего задачу с ограничениями к последовательности задач без ограничений. Однако и в этом случае требуется невырожденность матрицы А. Из предыдущего ясно, что именно полукоэрцитивные задачи, приводящие к вырожденным матрицам А, часто встречаются на практике. [43]
В дальнейшем на протяжении всей главы мы будем считать, что оператором Л является квадратная матрица. Следовательно, исходная задача предполагается уже редуцированной к системе линейных алгебраических уравнений. При этом везде, за исключением 4.5, предполагается невырожденность матрицы А и всюду - вещественность участвующих векторов и матриц. [44]
Однако никогда не следует пугаться кажущихся трудностей. Читатель уже понял, что необходимые условия имеют в лучшем случае только эвристическую ценность, если они не подкреплены теоремами существования. При новой формулировке они не понадобятся нам даже в качестве наводящих соображений, так как наши рассуждения будут очень близки к методу характеристик Коши. Тем самым по отношению к достаточным условиям следует предпочесть новую формулировку. К тому же она позволяет нам быть более экономными в смысле гладкости: вместо трехкратной дифференцируемости функции L мы требуем лишь наличия непрерывных вторых производных у Н, и, кроме того, требование невырожденности матриц Lik или Нуу становится менее существенным. Мы сможем охватить даже некоторые случаи, когда L не будет непрерывно дифференцируемой, например случай, когда L имеет вид tp ( /, x) ty ( x), где Ф - дважды непрерывно дифференцируемая функция, а гр ( г) равна наибольшему из значений г2, 2 - г2, или когда в параметрической задаче L имеет индикатрису наподобие фигуры F, изображенной на рисунке в § 24 гл. [45]