Cтраница 1
Недоказуемость 5) в пределах пеановской арифметики проистекает также из того отмеченного Коэном [ 2, с. Пеано не дают правил для образования множеств и не содержат основных свойств множеств; в 5) же речь идет как раз о произвольных множествах натуральных чисел. [1]
Недоказуемость теоремы Гудстейна, понимаемая в этом смысле, вряд ли может помешать нам убедиться в ее фактической справедливости. Наши интуитивные представления позволяют нам расширить действие тех ограниченных приемов доказательства, которыми мы воспользовались ранее. В действительности сам Гудстейн доказал свою теорему, прибегнув к разновидности метода, который называется трансфинитной индукцией. В контексте нашего изложения этот метод сводится к систематизации интуитивных ощущений, которые возникают в процессе знакомства с причиной, по которой теорема Гудстейна и в самом деле верна. Эти ощущения могут родиться практически целиком за счет изучения некоторого числа частных случаев указанной теоремы. И тогда станет видно, как скромная незаметная операция ( б) безжалостно отщипывает по кусочку от огромной башни показателей до тех пор, пока она не начинает постепенно таять и полностью исчезает, - хотя бы на это ушло и невообразимо большое число шагов. [2]
Ak будет равносильна его недоказуемости в данной системе, что означает либо истинность, но недоказуемость этого утверждения, либо его ложность, но доказуемость в той же системе. Но последняя возможность исключена, поскольку мы предположили, что наша система является правильной; следовательно, указанное утверждение истинно, но недоказуемо в данной системе. [3]
Высказывание, которое утверждает собственную недоказуемость, можно сравнить со словами того обитателя острова рыцарей и плутов, который заявляет, будто он непризнанный рыцарь, точно так же высказывание, утверждающее свою собственную опровержимость, можно уподобить словам такого обитателя острова, который заявляет, что он отъявленный плут; этот человек и в самом деле мошенник, но неотъявленный. [4]
В предположении, что такое доказательство1) недоказуемости А ( р) существует, можно было бы, представляя формальные объекты их геделев-скими номерами, выразить его как доказательство1) в содержательной арифметики. Займемся вопросом, может ли это последнее доказательство быть формализовано в системе гл. [5]
Как видно из приведенного доказательства, для установления недоказуемости построенной нами формулы достаточно предположения о простой непротиворечивости формальной арифметической системы, а предположение об ш-непротиворечивости системы используется лишь при доказательстве неопровержимости этой формулы. [6]
Тогда, как читатель может убедиться сам, X утверждает недоказуемость У, а У утверждает неопровержимость X. [7]
Читатель может заметить определенное сходство между рассуждениями, устанавливающими, вопреки недоказуемости, истинность Р & ( &), и парадоксом Рассела. Помимо этого, наблюдается сходство и с доказательством Тьюринга о невозможности существования машины Тьюринга, которая могла бы решить проблему остановки. Эти сходства не случайны. Между этими тремя событиями имеется прочная историческая нить. [8]
Предложения G и Я могут рассматриваться как предложения, выражающие свою собственную недоказуемость и доказуемость соответственно. Ниже мы дадим ответы на вопросы, истинны G и Я или ложны, т.е. имеет место или нет hz G и hz Я. [9]
Эта модификация заключается в том, что мы рассматриваем высказывание, выражающее свою собственную недоказуемость. Если некто произносит фразу: предложение, которое я сейчас произношу, не может быть получено в результате какого-либо доказательства, то предположение о том, что это предложение может получиться в результате некоторого доказательства, ведет к противоречию. Таким образом, это предположение должно быть отвергнуто. Но тогда получается, что имеет место именно то, о чем говорится в этом предложении и, значит, это предложение получается в результате некоторого доказательства. [10]
Хотя идеи Оствальда разделялись многими учеными того времени, далеко не все соглашались с принципиальной недоказуемостью существования простейших частиц вещества. Одним из таких ученых был Перрен, которому в основном и принадлежит заслуга непосредственного экспериментального подтверждения реальности атомов и молекул. [11]
Ak будет равносильна его недоказуемости в данной системе, что означает либо истинность, но недоказуемость этого утверждения, либо его ложность, но доказуемость в той же системе. Но последняя возможность исключена, поскольку мы предположили, что наша система является правильной; следовательно, указанное утверждение истинно, но недоказуемо в данной системе. [12]
Хотя идеи Оствальда разделялись многими учеными того времени, однако далеко не все соглашались с принципиальной недоказуемостью существования простейших частиц вещества. Одним из таких ученых был Перрен, которому в основном и принадлежит заслуга непосредственного экспериментального подтверждения реальности атомов и молекул. [13]
W; Т недоказуема в М - это сама цепочка Т, раз она утверждает свою недоказуемость. [14]
Хотя идеи Оствальда затронули довольно многих ученых того времени, однако далеко не все соглашались с принципиальной недоказуемостью существования простейших частиц вещества. Одним из таких ученых был Перрен, которому в основном и принадлежит заслуга непосредственного экспериментального подтверждения реальности атомов и молекул. [15]