Cтраница 1
Первое неизвестное в любом решении принимает значение, равное нулю. Если коэффициенты при всех неизвестных, кроме первого и, например, второго, равны нулю, то второе неизвестное принимает определенное значение, которое находится из уравнения, содержащего ненулевой коэффициент при втором неизвестном, если отбросить там все члены с другими неизвестными; в этом случае все неизвестные, начиная с третьего, могут принимать любые значения. Если же, по крайней мере, три неизвестных ( например, xlt Л2 и х3) встречаются с ненулевыми коэффициентами, то все неизвестные, кроме первого, могут принимать любые значения, причем их значения в каждом решении связаны одним соотношением, полученным из любого, уравнения системы, содержащего ненулевой коэффициент при втором неиз вестном, если выбросить член с первым неизвестным. [1]
Первое неизвестное в любом решении принимает значение, равное нулю. Если коэффициенты при всех неизвестных, кроме первого и, например, второго, равны нулю, то второе неизвестное принимает определенное значение, которое находится из уравнения, содержащего ненулевой коэффициент при втором неизвестном, если отбросить там все члены с другими неизвестными; в этом случае все неизвестные, начиная с третьего, могут принимать любые значения. Если же, по крайней мере, три неизвестных ( например, х, хг и лс3) встречаются с ненулевыми коэффициентами, то все неизвестные, кроме первого, могут принимать любые значения, причем их значения в каждом решении связаны одним соотношением, полученным из любого уравнения системы, содержащего ненулевой коэффициент при втором неизвестном, если выбросить член с первым неизвестным. [2]
Равенство нулю всех коэффициентов при первом неизвестном или при всех неизвестных, начиная со второго, при условиях задачи невозможно. Необходимым и достаточным условием для этого является то, чтобы ранг матрицы из коэффициентов при неизвестных уменьшался на единицу при вычеркивании k - ro столбца, иными словами, чтобы й-й столбец не ( был линейной комбинацией остальных столбцов этой матрицы. [3]
Равенство нулю всех коэффициентов при первом неизвестном или при всех неизвестных, начиная со второго, при условиях задачи невозможно. [4]
Коэффициент 2, который стоит при первом неизвестном и в первом уравнении, называется ведущим элементом первого шага исключения. [5]
Первое уравнение выражает условие, что перемещение по направлению первого неизвестного от всех воздействий равно нулю, а второе уравнение-условие, что перемещение по направлению второго неизвестного от всех воздействий равно нулю. [6]
Первое уравнение выражает условие, что перемещение по направлению первого неизвестного от всех воздействий равно нулю, а второе уравнение - условие, что перемещение по направлению второго неизвестного от всех воздействий равно нулю. [7]
Первое уравнение выражает условие, что перемещение по направлению первого неизвестного от всех воздействий равно нулю. [8]
Суть метода заключается в том, что в системе линейных уравнений первая строка делится на коэффициент при первом неизвестном, а далее последовательно умножается на коэффициенты при первых неизвестных в других строках и вычитается из этих строк. Таким образом, исключается первое неизвестное. В результате остается уравнение плюс система из меньшего на один числа уравнений с соответствующим числом неизвестных. Последовательно применяя прямой ход этого метода, получают систему с треугольной матрицей. Далее находят значения неизвестных в порядке обратного хода. [9]
Этот определитель называется определителем системы. Числитель первого неизвестного Д есть определитель, получающийся из определителя системы заменой его первого столбца столбцом свободных членов. [10]
Суть метода заключается в том, что в системе линейных уравнений первая строка делится на коэффициент при первом неизвестном, а далее последовательно умножается на коэффициенты при первых неизвестных в других строках и вычитается из этих строк. Таким образом, исключается первое неизвестное. В результате остается уравнение плюс система из меньшего на один числа уравнений с соответствующим числом неизвестных. Последовательно применяя прямой ход этого метода, получают систему с треугольной матрицей. Далее находят значения неизвестных в порядке обратного хода. [11]
Метод обращения Гаусса хорошо известен из алгебры. Выберем из заданной системы уравнение, в котором коэффициент при нервом неизвестном не равен нулю, и добавим его к остальным уравнениям, каждый раз предварительно умножая на такие числа, чтобы первое неизвестное оказалось исключенным. Из числа оставшихся п - 1 неизвестных вновь выбираем одно и исключаем его аналогично тому, как это было сделано с первым. Эти действия необходимо продолжить до тех пор, пока останется одно неизвестное, которое рассчитывается обычным способом. Остальные неизвестные находятся обратной подстановкой. [12]
Однако случайная ошибка, сделанная в начале вычислений, делает все вычисления ошибочными. Поэтому контроль вычислений играет в способе Гаусса особенно большую роль. Далее первое уравнение делится на коэфициент при первом неизвестном, умножается поочередно на коэфициенты при том же неизвестном в других уравнениях и соответственно вычитается из них. В результате первое неизвестное оказывается исключенным. Для контроля те же операции производятся над суммами коэфициентов соответствующих уравнений и результаты сравниваются с суммами коэфициентов вновь образованных уравнений. В эти суммы можно включить свободные члены уравнений, если они имеют тот же порядок. [13]
В курсе высшей алгебры рассматриваются два в каком-то смысле конкурирующих способа решения систем уравнений. Первым является метод исключения. Сначала некоторые кратные первого уравнения системы вычитаются из других уравнений, с тем чтобы устранить из этих уравнений первое неизвестное. В результате возникает меньшая система, состоящая из п - 1 уравнений с п - 1 неизвестными. Процесс повторяется, пока не останется только одно уравнение с одним неизвестным, которое можно решить непосредственно. Теперь нетрудно произвести обратный ход и определить все другие неизвестные в обратном порядке. Соответствующий пример мы скоро приведем. Второй, более сложный, путь дает идея определителя. Из примеров, приводимых в учебниках ( человеческого терпения хватает, как правило, на случаи 3 или я 4, но не более), не всегда видно, который путь лучше. [14]
Однако случайная ошибка, сделанная в начале вычислений, делает все вычисления ошибочными. Поэтому контроль вычислений играет в способе Гаусса особенно большую роль. Далее первое уравнение делится на коэфициент при первом неизвестном, умножается поочередно на коэфициенты при том же неизвестном в других уравнениях и соответственно вычитается из них. В результате первое неизвестное оказывается исключенным. Для контроля те же операции производятся над суммами коэфициентов соответствующих уравнений и результаты сравниваются с суммами коэфициентов вновь образованных уравнений. В эти суммы можно включить свободные члены уравнений, если они имеют тот же порядок. [15]