Cтраница 1
Неизоморфность этих алгебр следует из того, что фильтрации в них определены инвариантно. [1]
Для доказательства неизоморфности любых двух приведенных выше алгебр Ли достаточно предположить, что основное поле алгебраически замкнуто. Мы считаем поэтому поле Ф алгебраически замкнутым. Пусть Xt - одна из наших алгебр Ли ( например, At, E6), где индекс / указывает на размерность подалгебры Картана. Из теоремы о сопряженности следует, что это число является инвариантом алгебры. [2]
На первый взгляд эта существенная неизоморфность любых теоретических ( в частности, словесных) описаний Мира могла бы быть истолкована в агностицистском смысле - вот если бы класс выражений Языка был хотя бы в идеале, в пределе, с привлечением абстракции потенциальной осуществимости [12] ( допущение в этом случае более просто решающей вопрос абстракции актуальной бесконечности имеет слишком уж явно выраженный платонистский характер 67) изоморфен описываемому им Миру, то было бы все прекрасно. Приходится, однако, признать, что в некотором смысле дело обстоит как раз наоборот: ограничительные тенденции обнаруживаются именно в смелой гипотезе об актуальном изоморфизме Мира и Языка. Дело в том, что гипотеза эта утверждает не столько богатство Языка, сколько бедность Мира. [3]
Использование скорости создания информации А ( Т, 1) дает очень эффективный способ доказательства неизоморфности динамических систем, а в одном очень важном случае - и изо-морфности. Он состоит в вычислении некоторой величины, связанной с системой и не изменяющейся при изоморфизмах. Эта величина называется энтропией системы, или энтропией задающего эту систему преобразования, или инвариантом Колмогорова - Синая. [4]
Таким образом, мы доказали, что ( N, ) и ( Z) не элементарно эквивалентны, а из этого уже вывели их неизоморфность. [5]
Пусть Г - группа без кручения, / / - некоторая классическая простая алгебраическая группа, определенная над R с вещественными точками Н и р: Г - - Я-вложение, при котором р0Г есть равномерная дискретная подгруппа или решетка ( жесткость которой в случае локальной неизоморфности Я группе PSL. R) следует из теоремы Мостова [ 2 ( ср. [6]
К множествам, для которых определены операция сложения элементов и операция их умножения на вещественные числа, принадлежат, в частности, множество векторов Vect ( l) и поле вещественных чисел R. Поэтому высказывание об их изоморф-ности или неизоморфности имеет смысл. [7]
Если процессы ( Т, ) и ( Т, т ]) эквивалентны в смысле определения из разд. Вычисление энтропии факторсистем дает возможность доказывать их неизоморфность, но не позволяет различать неэквивалентные случайные процессы, которым отвечают изоморфные динамические системы. [8]
Если же соблюдаются не все признаки сходства и тем более лишь один из них ( например, изоструктурностъ), то изоморфизм является несовершенным ( что, в частности, может проявиться в ограниченной смесимости) или же вообще отсутствует. Различие атомных радиусов и типа химической связи делает понятной неизоморфность кристаллов CuCl и CuZn, имеющих одинаковую структуру и одинаковую форму. Хотя rNa Si / си 1, однако NaCl и CuCl также неизоморфны; сходство нарушено значительным различием поляризационных свойств катионов. [9]
Переформулировав теорему 11, получим: не элементарно эквивалентные интерпретации неизоморфны. В таком виде теорема 11 обычно используется при доказательстве неизоморфности. [10]
Если же соблюдаются не все признаки сходства и тем более лишь один из них, например, изоструктурность, то изоморфизм является несовершенным ( что, в частности, может проявиться в ограниченной смешиваемости) или же вообще отсутствует. Различие атом ных радиусов и типа химической связи делает понятной неизоморфность кристаллов CuCl и CuZn, имеющих одинаковую структуру и одинаковую форму. Хотя rNa rCu, однако NaCl и CuCl также неизоморфны; сходство нарушено значительным различием поляризационных свойств катионов. [11]
Заметим, что этот инвариант зависит только от совместных распределений образующих стационарную последовательность случайных величин. Как мы позже увидим, он может быть использован для установления неизоморфности преобразований сдвига случайных последовательностей. [12]
Пример с квасцами иллюстрирует наиболее совершенный изоморфизм, когда изоморфные вещества родственны одновременно по химическому составу, по типу химической связи, по форме кристаллов, по структуре, по валентности элементов, по размерам замещающих друг друга частиц. Если же соблюдаются не все признаки сходства соединений, то изоморфизм является несовершенным ( что проявляется в ограниченной смешиваемости) или же вообще отсутствует. Различие атомных радиусов и типа химической связи обусловливает неизоморфность кристаллов CuCl и CuZn, имеющих одинаковую структуру и одинаковую форму. Хотя r ( Na) жг ( Си), однако NaCl и CuCl также неизоморфны; сходство нарушено значительным различием поляризационных свойств катионов. [13]
Напомним ( и это еще не было отмечено), что существует бесконечно много различных р-адических представлений. Поля р-адических чисел для различных простых р неизоморфны. Таким образом, 2-адическое описание не эквивалентно 3-адиче-скому. Неизоморфность различных полей Qp порождает очень серьезную проблему при построении р-адических моделей микромира: какое простое число р следует выбрать для системы координат в планковском мире. [14]
Выбросим из пространства точки, принадлежащие данному узлу, и рассмотрим фундаментальную группу оставшегося множества точек. Эту группу и называют группой узла. Непосредственно очевидно, что если узлы эквивалентны, то их группы изоморфны. Поэтому из неизоморфности групп узлов можно заключить о неэквивалентности самих узлов. Так, например, группа узла, приводящегося к окружности, есть циклическая группа, а группа узла, имеющего вид трилистника ( рис. 27), есть более сложная группа. Последняя группа некоммутативна и, таким образом, неизоморфна группе окружности. Поэтому можно утверждать, что трилистниковый узел невозможно расправить в окружность, не разрубая его, - факт, очевидный экспериментально, но требующий для своего доказательства тонких математических соображений. [15]