Cтраница 2
Это противоречит неприводимости модуля Ш и, таким образом, доказывает, что 2Й ( на самом деле йг неприводим. [16]
Для доказательства неприводимости нам надо показать, чтов Y должна быть кратной единичной матрице. [17]
Основное следствие неприводимости для конечномерных представлений было получено с помощью леммы Шура ( упр. Эта лемма не допускает прямого обобщения на бесконечномерные представления. Основным препятствием для этого служит тот факт, что, к сожалению, не всякий эндоморфизм бесконечномерного пространства обладает собственными значениями. [18]
Известное понятие неприводимости многочлена зависит от области рациональности: многочлен / ( дс) над К, т.е. с коэффициентами из поля К, неприводим над К, ес и его нельзя представить в виде произведения f ( x) / И) двух многочленов над К, каждый из которых не вырождается в константу. Решение линейных уравнений, нахождение наибольшего общего делителя двух многочленов с помощью алгоритма Евклида происходит над определенной областью рациональности, которой принадлежат коэффициенты соответственно уравнений и многочленов. Классической задачей алгебры является решение алгебраического уравнения / ( х) 0 с коэффициентами из поля К, например, из поля рациональных чисел. Если корень в этого уравнения нам известен, то известны и все числа, которые с помощью четырех действий можно получить из в ( и чисел, образующих поле К, которые предполагаются известными): все эти числа образуют поле К ( в), являющееся расширением поля К. Внутри числового поля К ( в) корень в играет роль определяющего числа, позволяющего получить все остальные рациональные числа. Поэтому вместо уравнения / ( дс) 0 мы можем изучать поле К ( в), и этот переход означает большой шаг вперед ибо совершая его, мы снимаем несущественное и одинаково охватываем все уравнения, которые можно получить из уравнения f ( x) 0 с помощью преобразования Чирнгаузена. Алгебраическая и прежде всего арифметическая теория числовых полей - одно из величественных творений математики; по богатству и глубине результатов его можно, пожалуй, назвать наиболее соэершенным творением. [19]
Анализ свойств неприводимости графиков Г производится точно так же, как и в предыдущих разделах. [20]
Соотношение между неприводимостью множеств и неприводимостью ростков. [21]
Аналогично, доказать неприводимость многочлена Xs - X - 1 над Q, перейдя к сравнению по модулю 3 ( это гораздо проще. [22]
Можно указать критерий неприводимости для тг, звучащий примерно так же, как и для конечных групп: чтобы тг было неприводимым, достаточно, чтобы для д G-Я ограничения на НГ дНд - 1 представлений р и р9: х - р ( д - 1хд) не имели общих компонент. [23]
Нам остается проверить только неприводимость. Мы должны показать, что X X У совпадает с одним из этих множеств. Оно также неприводимо: любое разложение в объединение замкнутых множеств вело бы к подобному разложению множества У, так как замкнутое подмножество множества я X У должно иметь вид л: X Z для некоторого замкнутого подмножества Z множества У. Следовательно, пересечения множества А: X У с Z и Z2 не могут быть собственными подмножествами в А: X У. [24]
Это противоречит предположению о неприводимости. [25]
Используя теорему Гильберта о неприводимости, можно построить расширение Галуа поля Q, группа Галуа которого есть симметрическая группа ( см. гл. [26]
В общем случае понятие неприводимости определяется для многочленов над произвольным полем. [27]
Следовательно, если случай неприводимости встретится при исследовании двух сепаратрис, ограничивающих область отталкивания особой точки О, то одна из них будет х 0, другая касается прямой, отличной от оси Оу. Такие сепаратрисы всегда разделены. Ясно, что при отыскании сепаратрис можно простым поворотом координатных осей избавиться от случая непроводимости. [28]
Эйлер не оговаривает условия неприводимости выражения, подразумевая его неявно. [29]
Понятия эквивалентности, приводимости и неприводимости непосредственно переносятся на нагруженные представления. Справедливость этого утверждения доказывается совершенно так же, как и для обычных представлений. Поэтому всякое нагруженное приводимое представление распадается на сумму неприводимых представлений. [30]