Cтраница 1
Непротиворечивость системы аксиом означает, что на ее основе нельзя вывести посредством правильных рассуждений утверждение и отрицание одного и того же факта. [1]
Чтобы обеспечить непротиворечивость системы аксиом, существования модели оказалось недостаточно. [2]
Именно, независимость и непротиворечивость системы аксиом может быть установлена путем построения числовой модели, реализующей эту систему. [3]
Время 1 вводится для обеспечения непротиворечивости системы аксиом. Значение истинности предиката CB ( k) изменяется во времени, так как в один и тот же момент времени предикат истинным и ложным не может быть. [4]
Вряд ли требуется особо доказывать, что вопрос о непротиворечивости системы аксиом относится не только к области задач логического обоснования математики. Геометрия Лобачевского свидетельствует о том, как велико может быть значение этой проблемы для всего развития самой математики. [5]
Следует подчеркнуть, что в указ, доказательствах речь идет о доказательстве непротиворечивости системы аксиом. [6]
Такая формулировка этих критериев имеет определенные преимущества для использования их в вопросах непротиворечивости формализованных систем аксиом первой ступени; эти вопросы, как мы знаем, сводятся к вопросам о неопровержимости тех или иных формул исчисления предикатов. [7]
В моем изложении теоремы Геделя я опустил многие детали и к тому же оставил в стороне то, что относилось к неразрешимость вопроса о непротиворечивости системы аксиом и было исторически наиболее важной частью его доказательства. Моя задача состояла не в том, чтобы акцентировать внимание на проблеме доказуемости непротиворечивости аксиом, столь важной для Гильберта и его современников; я стремился показать, что специфическое утверждение Геделя - которое нельзя ни подтвердить, ни опровергнуть исходя из аксиом и правил вывода рассматриваемой формальной системы - оказывается с очевидностью верным, если опираться в наших рассуждениях на интуитивное понимание смысла применяемых процедур. [8]
Александрова) подробно излагает с современной точки зрения самую сущность неевклидовой геометрии, созданной Н. И. Лобачевским; автор приводит точную аксиоматику абсолютной планиметрии, подробно освещает вопрос о непротиворечивости системы аксиом, дает исследование различных известных моделей плоскости Н. И. Лобачевского и весьма детально разъясняет взаимную связь понятий конгруэнтности и движения. [9]
Появление противоречия означало бы, что рассматриваемой системе аксиом не может удовлетворять никакая система объектов и, таким образом, эти аксиомы ничего не описывают. Непротиворечивость системы аксиом может быть доказана построением какой-нибудь точной интерпретации этой системы. Следует заметить, что в догильбертовском аксиоматическом методе это был единственный способ доказательства непротиворечивости. [10]
Заметим, что если свойство непротиворечивости имеет место на обучающей выборке, то это означает, что соответствующие обучающие подклассы не пересекаются. В этом случае непротиворечивость системы аксиом означает, что эталонные объекты из разных обучающих подклассов не имеют одинакового логического описания. [11]
В предыдущих трех главах мы имели дело с методами, разработка которых была обусловлена введением гильбертовского е-символа. В частности, с помощью метода устранения связанных переменных нам удалось получить удовлетворительное решение проблемы символьного решения экзистенциальных аксиом; затем мы доказали одну весьма общую теорему ( нп-тео-рему), применяя которую, можно с помощью финитных арифметических моделей устанавливать непротиворечивость систем аксиом первой ступени, не пользуясь предположением о непротиворечивости формального анализа. [12]
Однако первые же попытки доказательства непротиворечивости нек-рых систем аксиом ( напр. [13]
Зависимость какого-нибудь предложения t от других высказываний какой-либо системы аксиом является установленной, поскольку a in соп - creto доказано на основании этих высказываний. Для установления же независимости нужно показать, что ни одна сколь угодно далеко проведенная комбинация умозаключений не приведет к предложению а. Для достижения этой цели мы располагаем тремя методами; согласно сказанному выше каждый из них служит также и для доказательства непротиворечивости системы аксиом. [14]
Однако надежды Гильберта и его последователей были перечеркнуты, когда в 1931 году блестящий австрийский логик математики Курт Гедель выдвинул поразительную теорему, которая до основания разрушала программу Гильберта. Гедель показал, что любая подобная точная ( формальная) система аксиом и правил вывода, если только она достаточна широка, чтобы содержать в себе описания простых арифметических теорем ( как, например, последняя теорема Ферма, рассмотренная в главе 2), и если она свободна от противоречий - то такая система должна включать утверждения, которые не являются ни доказуемыми, ни недоказуемыми в рамках формализма данной системы. Истинность таких неразрешимых утверждений, следовательно, не может быть выяснена с помощью методов, допускаемых самой системой. Более того, Гедель смог показать, что даже утверждение о непротиворечивости системы аксиом, будучи переведенным в форму соответствующей теоремы, само по себе является неразрешимым. [15]