Cтраница 4
В этой главе исследуются области определения транспортных задач с запретами и ограниченными пропускными способностями коммуникаций, а также обобщенных и симметрических транспортных задач. Для таких многогранников рассмотрены вопросы представления их в виде произведения многогранников меньшего порядка, формулируются условия непустоты, указаны пределы изменения числа граней, выделены многогранники максимальной размерности и многогранники, являющиеся симплексами. [46]
В этом случае необходимость условий проверяется возможностью продолжения любой функций, удовлетворяющей граничным условиям, с многообразия Гт на всю область g в заданный класс функций. Важность такой постановки особенно ясна при решении прямыми методами вариационных задач, когда требуется при заданных граничных функциях проверить непустоту рассматриваемого класса. В настоящее время граничные свойства функций, принадлежащих различным функциональным пространствам, наиболее полно исследованы на плоскостях, параллельных координатным. Для общих многообразий получение необходимых и достаточных условий связано с большими трудностями. Ниже исследуются дифференциальные свойства следа для неизо-троппых классов Wp ( g) на плоских многообразиях Гт, а также на многообразиях, которые при помощи инвариантных относительно класса Wp преобразований приводятся к плоскому случаю. Характеристика следа на существенно криволинейной границе будет исследована в следующей главе. [47]
Среди пих: понятие бикомпактное ( компактности); теорема Тихонова о бикомпактности топологич. Стоуна - Вейерштрасса и др. Полнота и связанные с ней принципы: теорема о неподвижной точке сжатого отображения, теорема Бэра о непустоте пересечения счетного семейства всюду плотных открытых множеств и др. Топологическая размерность, наряду с понятиями компактности и полноты, несомненно относится к числу важных общематематич. [48]
В силу Суслика теоремы класс Аг совпадает с классом А - м н о жест в ( следовательно, класс САг - с классом СА-множеств), а класс В1 - с классом борелевских множеств. Для каждого класса А п построено универсальное множество, и при его помощи доказана следующая теорема о проективной иерархии ( теорема существования, теорема о непустоте классов): ВпаА rtdBn 1 ( следовательно, Впс. Апс: аВ щ), где каждое из включений - строгое. [49]
Доказательство этой теоремы крайне просто и является, по существу, перефразировкой определения несовместимости. Если множество не пусто, значит имеется оператор, который вырабатывает результаты, относящиеся к областям действия d и d, либо, вырабатывая результат одной из областей, является транзитным для маршрута связи другой из областей. Наоборот, выполнение условия несовместимости обеспечивает непустоту указанного множества. [50]
В [1] впервые изучены краевые задачи для регулярных уравнений бесконечного порядка. Теория функциональных пространств бесконечного порядка отличается от теории пространств конечного порядка хотя бы уже тем, что фактически здесь речь идет о бесконечно дифференцируемых функциях. В частности, совершенно нетривиален вопрос о непустоте функциональных пространств бесконечного порядка; положительный ответ на него играет решающую роль в теории краевых задач для дифференциальных уравнений бесконечного порядка. Задача о нахождении решений краевых задач для уравнений бесконечного порядка содержательна, если соответствующие энергетические пространства нетривиальны. [51]