Cтраница 1
Ниль-радикалы конечно порожденных йордано-вых Pi-алгебр / Препринт. [1]
Веддерберна об отщеплении ниль-радикала. [2]
Идеал Nil Л называется ниль-радикалом алгебры А. Nil Л; при этом включение может быть строгим, как показывает пример алгебр Ли, в которых Nil А А. Ниже мы увидим, что в конечномерных альтернативных и йордано-вых алгебрах идеал Nil Л нильпотентен. В случае конечномерных коммутативных моноассоциативных алгебр идеал Nil Л может быть не нильпотентным ( Suttles D. A-566), однако вопрос о его разрешимости открыт. [3]
Нильпотентные элементы кольца А образуют идеал, который мы будем называть ниль-радикалом и обозначать через nil А. [4]
Отображение хь - [ a х ] является дифференцированием присоединенной коммутативной моноассоциативной алгебры Л, а так как ниль-радикал моноассоциативной алгебры характеристики 0 устойчив относительно дифференцирования ( С л инь ко / / Сиб. [5]
В отличие от случая альтернативных и йордано-вых алгебр в классе н.й. алгебр, вообще говоря, не выполняется аналог теоремы Веддерберна об отщеплении ниль-радикала. [6]
Пусть L - конечномерная алгебра Ли над F, S S ( L) - ее разрешимый радикал, NN ( L) - наибольший нильпотентный идеал или ниль-радикал алгебры Ли L. Идеал N ( A) определен однозначно во всякой конечномерной алгебре Ли А, так как в любой алгебре Ли сумма двух нильпотентных идеалов является нильпотентным идеалом. В последнем случае алгебра L называется полупростой. Факторалгебра L / S является полупростой; всякая полупростая алгебра над F изоморфна прямой сумме простых алгебр. [7]
Пусть L - конечномерная алгебра Ли над F, S S ( L) - ее разрешимый радикал, N N ( L) - наибольший нильпотентный идеал или ниль-радикал алгебры Ли L. Идеал А ( Л) определен однозначно во всякой конечномерной алгебре Ли А, так как в любой алгебре Ли сумма двух нильпотентных идеалов является нильпотентным идеалом. В последнем случае алгебра L называется полупростой. Факторалгебра L / S является полупростой; всякая полупростая алгебра над F изоморфна прямой сумме простых алгебр. [8]
Оказывается, что нижний ниль-радикал ( А) алгебры А состоит из тех и только тех элементов х А, что любая m - система, содержащая х, содержит нуль. [9]
Оказывается, что нижний ниль-радикал & ( А) алгебры А состоит из тех и только тех элементов л еЛ, что любая / л-систсма, содержащая х, содержит нуль. [10]
Всякая S-алгебра является гомоморфным образом подходящей свободной SB-алгебры. Радикал Джекобсона любой свободной SB-алгебры оказывается Г - идеалом и совпадает с ее ниль-радикалом. [11]
Всякая SB-алгебра является гомоморфным образом подходящей свободной 93-алгебры. Радикал Джекобсона любой свободной 93-алгебры оказывается Г - идеалом и совпадает с ее ниль-радикалом. [12]
Промежуточное положение между произвольными моноассоциативными алгебрами и н.й. алгебрами занимают эластичные моноассоциативные алгебры. Отображение х - - [ а х ] является дифференцированием присоединенной коммутативной моноассоциативной алгебры Л (), а так как ниль-радикал моноассоциативной алгебры характеристики 0 устойчив относительно дифференцирования ( Слинько А. М. / / Сиб. Значит, ( A / Nil Л) Л () / № 1 Л () - ниль-полупростая конечномерная коммутативная моноассоциативная алгебра. [13]
Если R - простое нетерово справа и слева кольцо, имеющее правую и левую размерность Крулля, равную 1, и конечную глобальную размерность, то R эквивалентно в смысле Мориты некоторой области целостности. Отметим, что правая размерность Крулля нетерова справа кольца R равна 1, если для любого существенного правого идеала Т кольца R R / N, где V -верхний ниль-радикал кольца R, R / I оказывается артиновым правым Я-модулем ( [163], следствие 5.8 и предложение 6.1), а также если R - коммутативная область целостности, все факторкольца которой, не являющиеся полями, артиновы. Единице равна и размерность целочисленного группового кольца конечной группы ( [163], с. [14]
Рассмотрим теперь вопрос об однозначности факторов Леви. Оказывается, что эти факторы, как правило, определены не однозначно. Они, однако, сопряжены в некотором сильном смысле, который мы сейчас определим. Напомним, что если z принадлежит У1, ниль-радикалу алгебры 23, то эндоморфизм ad z нильпотентен. Так как ad z - дифференцирование, то, как мы уже знаем, Л - exp ( ad z) является автоморфизмом. Тогда имеет место следующая теорема о сопряженности. [15]