Cтраница 1
Обоснование операционного исчисления было дано в двадцатых годах нашего века в работах ряда математиков. [1]
Обоснование операционного исчисления с использованием преобразования Лапласа значительно сузило границы применимости операционного исчисления так называемыми функциями, преобразуемыми по Лапласу. [2]
В своем обосновании операционного исчисления Микусинский исходит из алгебры над функциями, в которой роль действия умножения выполняет так называемая свертка. Микусинский исключил из обоснования операционного исчисления интеграл Лапласа, а следовательно, снял и ограничения, накладываемые на поведение рассматриваемых функций в бесконечности. Несмотря на достоинство теории Микусинского, следует отметить, что исключение интеграла Лапласа не представляется целесообразным, так как применение интеграла Лапласа часто значительно упрощает получение формул операционного исчисления. Полный отказ от интеграла Лапласа затрудняет изучение структуры поля операторов, так как интеграл Лапласа является естественным средством представления поля операторов функциями комплексного переменного. [3]
В работах [4] и [19] предложен метод обоснования операционного исчисления, связанный с общей теорией линейных операторов. Как известно, в этой теории широко интерпретируются функции от операторов. А) Я отвечает оператор А. Строго говоря, здесь речь идет об изоморфизме между некоторым классом операторов и некоторым классом функций, при котором единичной функции отвечает единичный оператор, функции F ( k) K отвечает сам оператор А и сумме и произведению функций FI ( A) - f F2 ( Я) и Рг ( А) Р2 ( Я) отвечают сумма и произведение соответствующих операторов. Преобразование Лапласа осуществляет указанное соответствие между некоторым множеством функций комплексного переменного и множеством операторов. [4]
В своем обосновании операционного исчисления Микусинский исходит из алгебры над функциями, в которой роль действия умножения выполняет так называемая свертка. Микусинский исключил из обоснования операционного исчисления интеграл Лапласа, а следовательно, снял и ограничения, накладываемые на поведение рассматриваемых функций в бесконечности. Несмотря на достоинство теории Микусинского, следует отметить, что исключение интеграла Лапласа не представляется целесообразным, так как применение интеграла Лапласа часто значительно упрощает получение формул операционного исчисления. Полный отказ от интеграла Лапласа затрудняет изучение структуры поля операторов, так как интеграл Лапласа является естественным средством представления поля операторов функциями комплексного переменного. [5]
Операционное исчисление функций двух целочисленных переменных можно построить аналогично тому, как это было сделано в § 9 для одного переменного. Другой подход к обоснованию операционного исчисления функций целочисленного аргумента состоит во введении дискретного аналога свертки. Здесь будет применен такой подход; в этом случае изложение теории не связано с содержанием предыдущих параграфов. [6]
Лапласом ( 1812), впоследствии использовано для обоснования операционного исчисления, введенного О. [7]
В 1812 году в его трактате Аналитическая теория вероятностей появилось преобразование Лапласа, которое - уже в XX веке - было применено для обоснования операционного исчисления Хеви-сайда. [8]
Обоснование операционного исчисления с использованием преобразования Лапласа значительно сузило границы применимости операционного исчисления так называемыми функциями, преобразуемыми по Лапласу. Этот путь обоснования операционного исчисления был предложен Мику-синским [18], чем был совершен полный возврат к первоначальной операторной точке зрения, без всякой связи с преобразованием Лапласа. [9]
Основные свойства двумерного интеграла Лапласа во многом аналогичны соответствующим свойствам одномерного интеграла. С другой стороны, как двумерный интеграл Лапласа, так и операционное исчисление двух переменных обладают рядом специфических черт, не имеющих аналогов в одномерном случае. Введем в рассмотрение двумерный интеграл Лапласа и приведем его основные свойства применительно к обоснованию операционного исчисления двух переменных. [10]
В настоящей книге изложен материал специального курса по offep ционному исчислению. Для удобства читателей приводится небольшой вспомогательный материал из других разделов математики. В первую очередь это касается первой главы, в которой в сжатой форме изложены основные сведения из теории функций комплексного переменного. Более подробно рассматриваются свойства преобразования Лапласа. Во второй главе, посвященной вопросам теории операционного исчисления, обоснование операционного исчисления дается на основе теории Микусинского, с некоторым ее видоизменением. При этом операционное исчисление, опирающееся на преобразование Лапласа и интеграл Меллина, вытекает из общей теории при рассмотрении операторов, преобразуемых по Лапласу. Третья глава содержит приложения операционного исчисления к задачам анализа. В четвертой главе рассматривается операционное исчисление двух переменных и некоторые его приложения. В пятой главе рассматриваются вопросы приближенного вычисления обратного преобразования Лапласа. Материал этой главы почти не освещен в монографической литературе. [11]