Объединение - открытое множество
Cтраница 1
Объединение открытого множества и лишь части его границы не открыто и не замкнуто. Не нужно думать, что каждое открытое множество и его граница аналогичны области, которую можно закрасить, и ее контуру, как это внушают элементарные примеры: круг и его окружность, внутренняя область треугольника и ломаная, его заключающая. [1]
Множество W является объединением открытых множеств со, в каждом из которых распределение Л исчезает. [2]
Носителем а называется дополнение к объединению открытых множеств, на которых он обращается в нуль. [3]
Замкнутость: любая орбита является дополнением к объединению открытых множеств ( орбит), поэтому она замкнута. [4]
Если А и В произвольны, а О открыто, то АО, О А, АО В также открыты, как объединения открытых множеств. [5]
Поскольку замкнутое множество Т ( 1) есть пересечение множеств нулей различных полиномов / ( Г) е /, то типичное непустое открытое множество может быть описано как объединение главных открытых множеств - множеств всех ненулей отдельных полиномов. Следовательно, главные открытые множества образуют базис топологии Зарисского, но и они, однако, не являются очень малыми. Например, GL ( n K) есть главное открытое множество в А 2, определяемое условием detfT1 - /) 0; здесь GL ( n K) - группа всех обратимых ( п X п) - матриц над полем К. [6]
 |
Открытые шары в пространствах R, R и R выглядят следующим образом. [7] |
Если для любого х е Е, где Е - подмножество Rn, существует такое г О, что Вг ( х) е Е, то множество Е называется открытым. Несложно проверить, что объединение открытых множеств также является открытым множеством и что любой открытый шар есть открытое множество. Пересечение конечного числа открытых множеств также является открытым множеством. [8]
Все окрестности и все их объединения ( конечные и бесконечные) образуют систему открытых множеств. Отсюда легко получить, что объединение открытых множеств в любом числе и пересечение в конечном числе снова суть открытые множества. [9]
Таким образом, множество X Y представлено в виде объединения открытых множеств Ux и, значит, само является открытым. [10]
Множества системы 5 называются открытыми множествами топологического пространства X, а их дополнения - замкнутыми множествами. Некоторая совокупность открытых множеств называется базой топологического пространства X, если всякое открытое множество пространства X является объединением открытых множеств из этой совокупности. Измеримым топологическим пространством называется измеримое пространство X, G, ц), в котором а-алгебра G порождаема некоторой системой множеств топологического пространства X. Ал-гебра, порожденная открытыми множествами X, называется борелевской о-алгеброй пространства X, а элементы этой алгебры называются борелевскими множествами. Простыми примерами могут служить борелевские а-алгебры на вещественной прямой R - ( - со, оо) и в я-мерном эвклидовом пространстве Rn. Минимальная а-алгебра, порожденная всеми такими интервалами на R, будет борелевской о-алгеброй на R. Эта 0-алгебра совпадает с минимальной а-алгеброй, порожденной только одним из четырех типов интервалов. Аналогичные утверждения справедливы и в случае R, где в качестве основного класса множеств выступают обычно замкнутые, открытые или полуоткрытые параллелепипеды. [11]
Пусть А - объединение открытых множеств V с G, для которых U ] СА - то-щее мвожестно. [12]
Предположим вопреки утверждению, что пара U -, ( У - не может быть соединена цепью, образованной элементами покрытия S. Обозначим через W, объединение всех элементов покрытия 5, соединенных с Uit подобной цепью, а через W. Ясно, что как Wf, так и V.2 открыты ( как объединении открытых множеств), по пусть. [13]
Требуется доказать, что отображение э: У - - X в ( 1) непрерывно. U открыто в У, если ( и только если) множество n - l ( U) открытое G. Поскольку мы имеем дело с группой, это эквивалентно на первый взгляд более сильному утверждению, что отображение я открыто. Действительно, пусть множество U открыто в G. Тогда множество лг1 ( я ( / У)) есть объединение тех смежных классов, которые пересекаются с [ /; но это совпадает с объединением всех Я-сдвигов множества / У, что является объединением открытых множеств, и, следовательно, есть открытое множество. В (12.2) будет показано, что отображение я в действительности открыто. [14]
Страницы: 1