Формальный объект

Cтраница 4

Зависимость между основанием системы счисления в и необходимым количеством разрядов / при заданном максимальном числе Л, . [46]

Кодирование - это операция перевода по определенным правилам формального объекта, выраженного совокупностью кодовых символов одного алфавита, в формальный объект, выраженный символами другого алфавита. Примерами кодирования являются: перевод текста ( формального объекта) с одного языка на другой; шифровка определенного сообщения: представление последовательности операций, выполняемых машиной, выраженных словарным текстом, в текст на одном из машинных алгоритмических языков. При кодировании в качестве символов используют буквы алфавита, цифры в определенной системе счисления и различные условные знаки. [47]

Вначале имеется бесконечная счетная совокупность формальных символов. Поэтому, в силу методов § 1, формальные объекты образуют счетный класс. Если указать для них какой-нибудь пересчет и считать, что наши метаматематические утверждения относятся к индексам в этом пересчете, а не к самим пересчитываемым объектам, то метаматематика окажется отраслью арифметики. Вместе с тем может оказаться, что некоторые формулы системы, если рассматривать их в связи с нумерацией, выражают предложения, относящиеся к метаматематике этой системы. [48]

При этом переходе от формальной лингвистической системы к обобщенной арифметике мы произвели две перемены, каждую из которых можно было бы произвести в отдельности. Первая из них относится к структуре, которая приписывается формальным объектам. В лингвистическом представлении термы и формулы были конечными последовательностями формальных символов, в которых существенные части распознавались как подпоследовательности, тогда как в обобщенной арифметике они строятся непосредственно из таких существенных частей при помощи обобщенной операции следования. В обобщенной арифметике разложение выражений на их существенные части ( включая употребление скобок) переносится из формальной области в область изложения метаматематики, где мы перестаем заботиться об этой проблеме. [49]

Когда мы пользуемся идеей нумерации формальных объектов, то из практических соображений желательно, чтобы номера этих объектов были связаны с самими объектами посредством как можно более простых правил. Мы будем называть такое соответствие геделевской нумерацией, а соответствующее при нем какому-нибудь формальному объекту число - геделевским номером этого формального объекта. Иногда рассматриваются отдельно три геделевские нумерации: для формальных символов, для формальных выражений и для конечных последовательностей формальных выражений. В этом случае, говоря о каком-нибудь числе как о геделевском номере некоторого символа, или выражения, или последовательности выражений, каждый раз надо указывать, о каком соответствии идет речь. [50]

Страницы: 1 2 3 4