Cтраница 1
Упомянутая окрестность и контур Г могут быть несвязными. Интеграл не зависит от выбора контура. [1]
Если все k - ( xlt х2) - вещественны в упомянутой окрестности, то система называется гиперболической в этой окрестности. [2]
Эти же поверхности являются интегральными и для (6.20), если только решения, начинающиеся на этих поверхностях, не выходят из упомянутой окрестности начала. [3]
В дальнейшем, рассматривая некоторую окрестность кривой С, мы будем говорить, что точки из пересечения этой окрестности с RI лежат слева от С, а точки из пересечения упомянутой окрестности с R2 - справа от С. [4]
Для произвольной полутраектории / ( рх, 0 О, которая оставалась в е-окрестно-сти множества М в силу предположения компактности этой окрестности, необходимо существует по крайней мере одна целая траектория, принадлежащая - предельному множеству полутраектории и содержащаяся полностью в ранее упомянутой окрестности. [5]
Будем говорить, что поверхность 5 принадлежит классу Ср р - 1, если в некоторой окрестности каждой точки XQ G S она определяется уравнением UJXQ ( X) О, причем gradcjzo ( a) / 0 и UJXQ ( X ] G Cp в упомянутой окрестности. [6]
Будем говорить, что поверхность 3Q принадлежит классу Ср, р 1, если в некоторой окрестности каждой точки хо 6 3Q она представляется уравнением ( ЛХо ( х) 0, причем gradco 0 ( x) / 0 и функция ыхо ( х) непрерывна вместе со всеми производными до порядка р включительно в упомянутой окрестности. [7]
Будем говорить, что поверхность S принадлежит классу Ср, р - 1, если в некоторой окрестности каждой точки а 0 s S она представляется уравнением Х ( 1 ( х) 0, причем grad сох ( х) ф 0 и функция ых ( х) непрерывна вместе со всеми производными до порядка р включительно в упомянутой окрестности. [8]
В этом случае, как мы знаем, функция F ( x y) имеет в начальной точке экстремум. Иначе говоря, в упомянутой окрестности нет ни одной точки нашей кривой, кроме начальной: эта последняя оказывается изолированной точкой кривой. [9]
Легко убедиться, что и наличие на кривой конечного числа особых точек не мешает на деле справедливости выведенных формул. Если выделить эти точки с помощью их окрестностей, то к остающейся части фигуры формулы приложимы. Затем нужно лишь перейти к пределу, предполагая диаметры упомянутых окрестностей стремящимися к нулю. [10]
Сейчас мы выясним связь сказанного выше о бесконечно малых преобразованиях с представлением группы вращения. Каждое вращение D может быть получено в виде произведения конечного числа вращений из упомянутой окрестности, и произведение соответствующих матриц представления дает представления и для D, Но таким образом в целом может получиться и многозначное представление группы вращения, поскольку при непрерывном изменении параметров вращения мы можем, возвращаясь к исходному вращению, получить для него новое представление. [11]
Сейчас выясним связь сказанного выше о бесконечно малых преобразованиях с представлением группы вращения. Каждое вращение D может быть получено в виде произведения конечного числа вращений из упомянутой окрестности, и произведение соответствующих матриц представления дает представления и для D. Но таким образом в целом может получиться и многозначное представление группы вращения, поскольку при непрерывном изменении параметров вращения можно, возвращаясь к исходному вращению, получить для него новое представление. [12]
Этим, впрочем, не покрывается еще теорема Дирихле-Жордана, которая в формулировке п 686 имеет, так сказать, локальный характер. Ограниченность изменения там требуется лишь по отношению к произвольно малой окрестности рассматриваемой точки. Но мы знаем [683], что именно значения, принимаемые функцией в этой окрестности, и определяют поведение ряда Фурье и величину его суммы в данной точке. Поэтому, ничего не меняя по существу, мы могли бы изменить значения функции вне упомянутой окрестности так, чтобы получилась функция с ограниченными изменениями во всем промежутке [ - л, л ], а к этой функции уже применимо сказанное выше. [13]