Cтраница 4
В, С, - это окружность, описанная около прямоугольного треугольника ABC ( угол S прямой), и ее центр От лежит на середине гипотенузы АС. С другой стороны, средняя линия трапеции МЛ пересекает диагональ трапеции АС в ее середине. Выясним, где находится точка О - центр окружности, вписанной в трапецию ABCD. Так как рассматриваемая окружность касается двух параллельных прямых ВС и AD, то ее центр - точка, равноудаленная от этих двух прямых. Множество точек, равноудаленных от двух оснований трапеции-ее средняя линия, и, следовательно, центр окружности, вписанной в трапецию, также лежит на средней линии MN. В треугольнике ABC сторона АВ больше стороны ВС, так как АВ равна диаметру вписанной окружности, а сторона ВС меньше диаметра. [46]
Проекция точки К описывает окружность 03, проходящую через О. Так как АВ 1.0 R, то проекцией точки / С на прямую OR является точка R. Таким образом, рассматриваемая окружность проходит и через точку R. Эти луночки состоят из точек, которые лежат внутри одной из окружностей Ох, 02, но вне другой. Таким образом, искомое множество целиком принадлежит этой фигуре. Покажем обратное: всякая точка L фигуры, состоящей из двух луночек, образованных окружностями Ох и Оа, принадлежит рассматриваемому множеству. Для этого проведем прямую OL ( см. рис. 31, б) и обозначим через X и Y точки ее пересечения с окружностями 01 и 03 соответственно. [47]
Все эти окружности имеют с кривой АВ общую касательную в точке М и направлены своей вогнутостью около этой точки в ту же сторону, что и кривая. Из соотношения между кривизной окружности и ее радиусом ( § 74) следует, что радиус рассматриваемой окружности должен равняться абсолютной величине - тт. [48]
Рассмотрим окружности, вдоль которых описанные конусы с вершиной в данной точке А, лежащей в плоскости окружности С ( п, конечно, вне последней), касаются шаров, проходящих через эту окружность С. Все такие окружности лежат на одном шаре, так как к числу образующих любого из этих описанных конусов принадлежат и касательные AT и AT к окружности С, проведенные из точки А. Центром шара 5 служит точка А, его радиусом - отрезок AT. Действительно, шар, проходящий через окружность С и через какую-либо точку М шара S, не лежащую в плоскости окружности С, касается в точке М прямой AM в силу равенства АМАТ. Поэтому точка М лежит на одной из рассматриваемых окружностей. [49]