Cтраница 1
Последняя окружность была нарисована не в том слое. [1]
Эта последняя окружность проходит через точки касания с окружностью С двух окружностей, касающихся последней и проходящих через точки А и В. [2]
Так как эта последняя окружность пересекает иод прямым углом все большие круги, проходящие через точку А и через точку, ей диаметрально противоположную, то и искомая стереографическая проекция той же окружности должна пересекать под прямым углом проекции всех этих больших кругов. [3]
В пересечении этой последней окружности с экватором и получается точка D ( Di, D2, D3) - Линию пересечения AB ( AzB2) делит точка D ( DZ) на две части. Из них AD ( AJ) 2) представляет пересечение кольца с цилиндром, а часть DB ( DZB - - пересечение кольца со сферой. [4]
Тонки Zj и га симметричны относительно последних окружностей. [5]
Центр кривизны Г лежит на этой последней окружности. [6]
Точка касания шаров 2 и 2 должна совпадать с одной из точек пересечения двух последних окружностей, и вопроса о геометрическом месте точек касания не возникает. [7]
Если на шаре через две данные пинки А и В проведены дее окружности, касающиеся данной окружности С, и третья окружность, ортогональная к С, то эта последняя окружность делит на две равные части угол между двvмя первыми и имеет своими полюсами сферические полюсы одной из двух инверсий, преобразующие первые две окружности одну в другую. [8]
Если мы имеем две ( неконцентрические) окружности, одна из которых находится внутри другой, и еще несколько окружностей, последовательно касающихся друг друга, а также касающихся двух первоначально заданных окружностей, как на рисунке 112, то может случиться так, что последовательность касающихся окружностей замкнется в кольцо из п окружностей, в котором последняя окружность касается первой. В этом случае, очевидно, в качестве первой окружности кольца мы можем принять произвольную окружность, касающуюся, двух первоначально данных. [9]
Пусть теперь одна из двух данных окружностей, лежащих на данном шаре 5, мнима и определяется как линия пересечения последнего с данной плоскостью Р, а другая окружность С действительна. Так как обе окружности ортогональны между собой, то последняя окружность С есть линия пересечения шара 5 с некоторым шаром 2, ортогональным к шару 5 и пересекающим плоскость Р под прямым углом. Так как полюс Q плоскости окружности С от-аосительно данного шара лежит в плоскости Р мнимой окружности, то ялоскости обеих окружностей сопряжены относительно шара. [10]
Из равенств ( 1) и ( Г) следует, что геометрическое место точек М и М есть некоторая окружность, проходящая через данные точки А и В, а из равенств ( 2) и ( 2), что геометрическое место точек N и А / есть другая окружность, проходящая через те же точки. AM В - 4 - / AN В а, из которого легко заключить, что обе последние окружности пересекаются в точках А и В под прямым углом. [11]
Пусть теперь даны две окружности Ох и О2, каждая из которых может быть действительной или мнимой. Следовательно, прямая OiO2 служит общей радикальной осью всех действительных окружностей, ортогональных к Oj и к О2 - Эти последние окружности могут пересекать прямую O OZ в одних и тех же действительных точках, в частности касаться ее в действительной точке ( Пл. [12]
Рассмотрим, наконец, случай, когда окружность С и шар 5 не имеют общих точек. Выбрав полюс инверсии, как было указано в решении упражнения 769, преобразуем окружность С и шар 5 в окружность с и плоскость s, параллельную плоскости последней окружности. [13]
Точка О принадлежит прямой а. Строим три окружности: с центром в точке О произвольного радиуса ( она пересекает прямую а в точках А и S), с центрами в точках А к В радиусом А В. Точку пересечения двух последних окружностей - точку С соединим с точкой О. [14]
Для доказательства выполним стереографическую проекцию, приняв за ее центр произвольную точку шара. Мы получим на плоскости три жружности, проходящие через одну и ту же точку а - проекцию точки А. Каждая из двух из этих трех окружностей будет касаться двух окружностей, обратных двум данным ( и притом обе они будут касаться обеих последних окружностей одинаковым образом или обе неодинаковым образом), а третья будет к ним ортогональна. [15]