Cтраница 1
Аккретивный оператор F: Е - Е деминепре-рывен. [1]
Так как нелинейные аккретивные операторы в банаховых пространствах вводятся при помощи полускалярного произведения и дуального отображения, то в § § 21 и 22 изучаются различные свойства дуального отображения. В данной главе изучаются также приближенные методы решения нелинейных уравнений. В § 21 рассматриваются приближения типа наискорейшего спуска для нелинейных уравнений с аккретивными операторами, а в § 23 - приближения типа Галеркина - Петрова для нелинейных уравнений с аккретивными и монотонными операторами. [2]
В частности, аккретивный оператор А максимален тогда и только тогда, когда ( - А) является порождающим оператором ( генератором) непрерывной однопараметрич. [3]
Замечание 23.3. Если в условиях теоремы 23.2 F - строго аккретивный оператор, то уравнение F ( x) 0 имеет единственное решение х0, а потому в силу леммы 16.1 можно утверждать, что галеркинские приближения х - хи при п - оо. [4]
В первых двух параграфах данной главы исследуются нелинейные уравнения с аккретивными операторами в некоторых банаховых пространствах. В случае гильбертова пространства нелинейные аккретивные операторы совпадают с нелинейными монотонными операторами, изученными в предыдущей главе. [5]
В главе VII ( § § 21 - 23) изучаются уравнения с не - NX, линейными аккретивными операторами и доказываются N, теоремы о сходимости к решениям нелинейных уравне - Г4 ний приближений типа наискорейшего спуска и типа ч ХГалеркина. В § 21 вводится дуальное отображение из нормированного пространства Е в сопряженное пространство Е и изучаются его свойства. Доказывается, в частности, что дуальное отображение определяется однозначно, если пространство Е строго выпукло, что оно монотонно, коэрцитивно и строго монотонно, если Е строго выпукло. При помощи дуального отображения вводится полускалярное произведение в нормированных пространствах и нелинейные аккретивные операторы. Изучаются некоторые свойства аккретивных операторов и доказываются основная теорема 21.1 о гомеоморфизме нелинейных сильно аккретивных операторов, удовлетворяющих условию Липшица, и теоремы о существовании решений нелинейных уравнений с такими операторами. [6]
В § 22 устанавливается предложение о равномерной непрерывности дуального отображения на всяком ограниченном множестве, выясняется вопрос о слабой непрерывности этого отображения и доказывается ряд вспомогательных предложений, при помощи которых устанавливаются основные теоремы о разрешимости уравнений с нелинейными аккретивными операторами. [7]
Если Ех - рефлексивное банахово пространство, ЕУ Е Х, Е х - строго выпукло и / - дуальное отображение, то, как увидим в § § 21 и 22, определение / - монотонного оператора совпадает с определением нелинейного аккретивного оператора. [8]
В первых двух параграфах данной главы исследуются нелинейные уравнения с аккретивными операторами в некоторых банаховых пространствах. В случае гильбертова пространства нелинейные аккретивные операторы совпадают с нелинейными монотонными операторами, изученными в предыдущей главе. [9]
Это обозначение не является стандартным. При изложении теории нелинейных полугрупп обычно рассматриваются аккретивные операторы и оператор ( / А) - 1 называется резольвентой оператора А. I - ХЛ) 1, который допускает удобную интерпретацию, являясь оператором, возникающим при проведении одного шага схемы Эйлера. Поэтому Е обозначает оператор Эйлера, ассоциированный с А. [10]
Так как нелинейные аккретивные операторы в банаховых пространствах вводятся при помощи полускалярного произведения и дуального отображения, то в § § 21 и 22 изучаются различные свойства дуального отображения. В данной главе изучаются также приближенные методы решения нелинейных уравнений. В § 21 рассматриваются приближения типа наискорейшего спуска для нелинейных уравнений с аккретивными операторами, а в § 23 - приближения типа Галеркина - Петрова для нелинейных уравнений с аккретивными и монотонными операторами. [11]
В главе VII ( § § 21 - 23) изучаются уравнения с не - NX, линейными аккретивными операторами и доказываются N, теоремы о сходимости к решениям нелинейных уравне - Г4 ний приближений типа наискорейшего спуска и типа ч ХГалеркина. В § 21 вводится дуальное отображение из нормированного пространства Е в сопряженное пространство Е и изучаются его свойства. Доказывается, в частности, что дуальное отображение определяется однозначно, если пространство Е строго выпукло, что оно монотонно, коэрцитивно и строго монотонно, если Е строго выпукло. При помощи дуального отображения вводится полускалярное произведение в нормированных пространствах и нелинейные аккретивные операторы. Изучаются некоторые свойства аккретивных операторов и доказываются основная теорема 21.1 о гомеоморфизме нелинейных сильно аккретивных операторов, удовлетворяющих условию Липшица, и теоремы о существовании решений нелинейных уравнений с такими операторами. [12]
Теория нелинейных полугрупп в банаховых пространствах - это очаровательная теория, однако она никоим образом не решает проблем корректности нелинейных эволюционных уравнений в банаховых пространствах. По поводу этой фундаментальной проблемы мы отсылаем читателя к монументальной работе Като. Теория нелинейных полугрупп играет чрезвычайно важную роль в изучении нелинейных эволюционных уравнений в банаховом пространстве, в частности, квазилинейных и полулинейных уравнений. Теория, представленная в этой главе, до сих пор не развита в приложении к эволюционным задачам с аккретивными операторами, так как пока изучена лишь однородная задача Коши. Неоднородная задача оказывается существенно сложнее. Однако уже имеются интересные примеры нелинейных сжимающих полугрупп, которые получаются с помощью теоремы Крэндалла - Лиггетта. [13]
В главе VII ( § § 21 - 23) изучаются уравнения с не - NX, линейными аккретивными операторами и доказываются N, теоремы о сходимости к решениям нелинейных уравне - Г4 ний приближений типа наискорейшего спуска и типа ч ХГалеркина. В § 21 вводится дуальное отображение из нормированного пространства Е в сопряженное пространство Е и изучаются его свойства. Доказывается, в частности, что дуальное отображение определяется однозначно, если пространство Е строго выпукло, что оно монотонно, коэрцитивно и строго монотонно, если Е строго выпукло. При помощи дуального отображения вводится полускалярное произведение в нормированных пространствах и нелинейные аккретивные операторы. Изучаются некоторые свойства аккретивных операторов и доказываются основная теорема 21.1 о гомеоморфизме нелинейных сильно аккретивных операторов, удовлетворяющих условию Липшица, и теоремы о существовании решений нелинейных уравнений с такими операторами. [14]
В главе VII ( § § 21 - 23) изучаются уравнения с не - NX, линейными аккретивными операторами и доказываются N, теоремы о сходимости к решениям нелинейных уравне - Г4 ний приближений типа наискорейшего спуска и типа ч ХГалеркина. В § 21 вводится дуальное отображение из нормированного пространства Е в сопряженное пространство Е и изучаются его свойства. Доказывается, в частности, что дуальное отображение определяется однозначно, если пространство Е строго выпукло, что оно монотонно, коэрцитивно и строго монотонно, если Е строго выпукло. При помощи дуального отображения вводится полускалярное произведение в нормированных пространствах и нелинейные аккретивные операторы. Изучаются некоторые свойства аккретивных операторов и доказываются основная теорема 21.1 о гомеоморфизме нелинейных сильно аккретивных операторов, удовлетворяющих условию Липшица, и теоремы о существовании решений нелинейных уравнений с такими операторами. [15]