Cтраница 1
Ограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве является спектральным оператором скалярного типа. [1]
Каждый ограниченный самосопряженный оператор имеет непустой спектр. [2]
Пусть h - ограниченный самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Я, и hi - точная нижняя граница значений квадратичной формы ( hf, f) на единичном шаре этого пространства. [3]
В вещественном банаховом пространстве ограниченных самосопряженных операторов неотрицательные операторы образуют замкнутый телесный конус ( 1 - внутренняя точка), благодаря чему можно работать с неравенствами в этом пространстве. Этот подход существенно дополняет оценки по норме. [4]
Так как произведение двух ограниченных самосопряженных операторов является самосопряженным оператором в том и только том случае, когда эти операторы перестановочны, то все операторы образующие кольцо, должны быть попарно перестановочными. [5]
Это понятие позволяет вводить неравенства между ограниченными самосопряженными операторами и, в частности, рассматривать монотонные последовательности таких операторов. [6]
Пусть A Е & ( Н) - ограниченный самосопряженный оператор и оператор Л-1 ( ограниченный или неограниченный) существует. [7]
В К1 / гЕ ( Л) является ограниченным самосопряженным оператором, причем В2 А. [8]
Пусть пространство Н сепарабельно, а А - некоторый ограниченный самосопряженный оператор в нем. Если замкнутый линейный оператор Т с плотной в Н областью определения перестановочен с каждым из операторов совокупности ( А), то Т есть функция от оператора А. [9]
С - вполне непрерывный положительно определенный оператор, а В - ограниченный самосопряженный оператор. [10]
Если А - произвольный симметрический оператор в Н, а В - ограниченный самосопряженный оператор в Н, то индексы дефекта операторов А и А - - В одинаковы. [11]
В связи с теоремой 1 возникает следующий вопрос: что можно сказать о близости двух ограниченных самосопряженных операторов А и В, если их непрерывные спектры совпадают. Легко убедиться на простых примерах в том, что разность А - В таких операторов может не быть вполне непрерывным оператором. Таким образом, непосредственное обращение теоремы 1 невозможно. [12]
Отказаться от условия полной несамосопряженности нельзя, поскольку характеристическая функция не изменяется при ортогональном присоединении к А любого ограниченного самосопряженного оператора. Однако это, очевидно, несущественно с точки зрения классификационной теории. Можно сказать, что для операторов с ядерной мнимой компонентой имеется полноценный аналог теоремы Жордана. [13]
С помощью применяемого здесь метода, при весьма незначительных изменениях, трактуется и тот случай, когда исходным является ограниченный самосопряженный оператор, а не унитарный. [14]
Упражнение 1.6. Покажите, что множество неотрицательно определенных самосопряженных операторов, действующих в гильбертовом пространстве Я, образует конус в пространстве Е всех ограниченных самосопряженных операторов. [15]