Cтраница 2
Мы так определим псевдодифференциальный оператор, чтобы это представление сохранилось по крайней мере локально; ядро р будет удовлетворять условиям нижеследующего определения. [16]
Пусть Q - псевдодифференциальный оператор порядка - т / 2 с символом, равным р ( х, ) - 1 / 2 при С2, где С2 - постоянная из определения 3.1 эллиптического оператора. Заметим, что множество С2 односвязно, если размерность я многообразия fl больше двух. Поэтому функция р ( х, Q-1 / 2 корректно определена на этом множестве при фиксированном я, если фиксировать ее значение в одной точке. [17]
Идея нашего определения псевдодифференциальных операторов состоит в замене (1.1) более слабым условием, при котором полиномы по Я заменяются асимптотическими рядами по Я. [18]
Если символ рассматриваемого псевдодифференциального оператора имеет в локальных координатах в окрестности границы асимптотич. [19]
Докажем теперь псевдолокальность псевдодифференциального оператора Р в смысле волновых фронтов, что является более точным утверждением, чем теорема 2.5 из гл. [20]
Это утверждение обобщает на псевдодифференциальные операторы теоремы, полученные для дифференциальных операторов ( [10], гл. [21]
Теперь мы рассмотрим композицию псевдодифференциальных операторов. [22]
Задачи, касающиеся систем псевдодифференциальных операторов, обсуждаются в гл. В § 1.1 мы доказываем, что искомые оценки эквивалентны некоторым неравенствам, содержащим только операторы первого порядка с линейными коэффициентами. Каждый такой оператор-составлен из членов первого порядка в разложении по формуле Тейлора символа псевдодифференциальной системы в некоторой характеристической точке. [23]
Автор рассматривает инвариантный класс псевдодифференциальных операторов на многообразиях без края. В этом классе выделяются гипоэллиптические операторы и доказывается, что на компактном многообразии без края они имеют конечный гомотопически устойчивый индекс. [24]
Поскольку эта книга посвящена псевдодифференциальным операторам, в мои намерения не входит подробное изложение этой глобальной теории интегральных операторов Фурье, тем более что локальной теории, содержащейся в § 2 - 4, будет достаточно дли целей этой книги. Материал § 1 относится к глобальной теории. [25]
Оператор L - классифицируется как псевдодифференциальный оператор, который является нелокальным как по пространственной, так и по временной переменным. Это нежелательное свойство препятствует использовать этот оператор в качестве RBC условия. Используются различные аппроксимации радикала, позволяющие построить RBC условия. [26]
Лемма 1.4.5. Пусть Р - псевдодифференциальный оператор в Rn порядка s, такой, что носитель Ри всегда содержится в некотором компактном множестве К и Ри - О, если v 6 C ( Rn) и v 0 в К. [27]
Следствие 2.4. Если Р - псевдодифференциальный оператор порядка т, а Т - псевдодифференциальный оператор порядка - оо, то РТ и ТР являются псевдодифференциальными операторами порядка - оо. [28]
Эта формула похожа на представление псевдодифференциального оператора посредством интеграла Фурье, лишь с заменой в показателе экспоненты функции x - g на некоторую функцию ф ( /, х, g), которую мы назовем фазовой функцией. [29]
Можно было бы определить класс псевдодифференциальных операторов как минимальный класс линейных операторов, содержащий все дифференциальные операторы и операторы, обратные к эллиптическим дифференциальным операторам, так что для каждого эллиптического дифференциального оператора Р в этом классе существует такой оператор Q, что ф Тф фф, фе eCj5 ( co), 71 - компактный. [30]