Cтраница 1
Операции левого и правого скалярного умножения являются двойственными друг к другу. [1]
В отличие от операции скалярного умножения, результатом которой является число, результатом новой операции является снова вектор. [2]
Точка в условии означает операцию скалярного умножения тензора модулей упругости на вектор v справа ( в компонентах - умножение матрицы на вектор - столбец справа); двойная точка в уравнении ( 5) означает двойное скалярное произведение ( свертку) пары тензоров. [3]
Отсюда ясно, что ввести в пространстве L операцию скалярного умножения можно не одним, а многими способами. [4]
Таким образом, формула ( 3) задает в пространстве L операцию скалярного умножения. [5]
Это выражение удобно, так как операция сложения, умножения на число и операция скалярного умножения классов эквивалентных функций сводятся к соответствующей операции над их представителями, причем результат не зависит от выбора указанных представителей. [6]
Определение 16.1. Векторное пространство R называется евклидовым векторным пространством, если в нем определена операция скалярного умножения векторов, сопоставляющая каждым двум векторам а, Ъ е R действительное число аЪ, называемое скалярным произведением векторов я, Ь и удовлетворяющее следующим аксиомам. [7]
В этой главе используются следующие основные понятия: операция евклидова скалярного умножения в вещественном линейном пространстве, операция унитарного скалярного умножения в комплексном линейном пространстве, скалярное произведение двух векторов, линейное пространство со скалярным произведением, евклидово пространство, унитарное пространство, стандартные скалярные произведения в л-мерном вещественном ( комплексном) арифметическом пространстве Яп ( Gn) и в вещественном ( комплексном) линейном пространстве Ятхп ( CmXn) вещественных ( комплексных) матриц размеров т X п, матрица Грома системы векторов, матрица Г рама базиса, длина ( норма) вектора, нормирование вектора, угол между двумя векторами, ортогональность двух векторов, ортогональная система векторов, ортонормированная система векторов, ортонормированный базис, процесс ортогонализа-ции, биортогональные ( или взаимные) системы векторов, биортогональ-ные базисы, ортогональность вектора линейному подпространству, ортогональное дополнение линейного подпространства, ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая вектора относительно подпространства, ортогональность двух подпространств, ортогональная сумма подпространств, угол между вектором и подпространством, угол между двумя подпространствами. [8]
Евклидовым ( унитарным) пространством называется вещественное ( соответственно комплексное) линейное пространство с введенной на нем описанным выше образом операцией скалярного умножения. [9]
Комбинация операций умножения и свертывания называется скалярным ( внутренним) умножением. Операция скалярного умножения двух тензоров сводится сначала к их умножению, а затем к свертыванию результирующего тензора по верхнему индексу одного тензора и нижнему индексу другого. [10]
Комбинация операций умножения и свертывания называется скалярным ( внутренним) умножением. Операция скалярного умножения двух тензоров сводится сначала к их умножению, а затем к свертыванию результирующего тензора по верхнему индексу одного тензора и нижнему индексу другого. Скалярное произведение контравариантно-го вектора Ат и ковариантного вектора Вп дает инвариант АпВп, который можно, очевидно, назвать скалярным произведением векторов А и Вп. В случае аффннных ортогональных векторов сп и Ьт, получим скалярное произведение этих векторов a - b anbn - г) Признак тензора. [11]
I, исходя из длины и угла, мы определили скалярное произведение. Мы аксиоматически определим операцию скалярного умножения векторов, а длину и угол введем при помощи скалярного произведения. [12]
Обозначим через Мп ( А) множество всех я X -матриц с элементами из А. Тогда это множество само является - алгеброй относительно обычных операций сложения и умножения матриц и операции скалярного умножения матриц на элементы из R. [13]