Cтраница 1
Главные производные операции в [41, 49] называются также полиномиальными операциями. [1]
Обозначим через С и D клоны главных производных операций свободных алгебр счетного ранга многообразий V и W. Тогда условие V W эквивалентно существованию гомоморфизма клонов C - D. Скажем, что многообразие V интерпретируется в многообразии W, если V W. Свойство интерпретируемости связано с заданием мальцевских условий. [2]
Рассмотрение клонов позволяет отождествить действие двух сигнатур Т и Q, если операции из Т являются главными производными операциями относительно Q и наоборот. [3]
Кроме того, тернарная операция t ( х, у, z) х - у - - г является главной производной операцией в А. [4]
Это условие эквивалентно тому, что любая алгебраическая операция на Л, сохраняющая подалгебры и изоморфизмы между подалгебрами алгебры А, является главной производной операцией. [5]
Центром алгебры А называется множество Z ( A) всех таких пар ( а, й) еЛ2, что для любого целого неотрицательного числа п, любой п-арной главной производной операции t и любых элементов х, у Ап-1 равенства / ( а, х) t ( a, у) и t ( b, х) - - t ( b y) эквивалентны. Центр Z ( A) является конгруэнцией в А ( см. [41], с. Алгебра А из модулярного многообразия является абелевой в том и только том случае, если [ А2, А2 ] А ( А) ( см. [52], с. Все абелевы алгебры из модулярного многообразия / С образуют подмногообразие АЬ ( / С) в К. Многообразие АЬ ( / С) рационально эквивалентно многообразию модулей над некоторым кольцом ( см. [45], гл. Отметим, что если решетки конгруэнции всех алгебр из модулярного многообразия К являются решетками с дополнениями, то многообразие К рационально эквивалентно многообразию модулей над классически полупростым кольцом ( см. [28], с. [6]
Каждый целочисленный полином задает главную производную операцию в любом коммутативном, ассоциативном кольце с единицей. [7]
Таким образом, ds - примальные и s - примальные алгебры являются инфрапримальными. Конечная неодноэлементная алгебра А называется - примальной, если для любого натурального числа п любая п-арная алгебраическая операция на Л, сохраняющая конгруэнции, является главной производной операцией. [8]
Ясно, что любая универсальная алгебра может быть реализована указанным способом. Коммутативным диaгpa шaм в категории Т соответствуют тождества в / - алгебрах. Гомоморфизмами Г - алгебр являются естественные преобразования функторов. Таким образом, все построенные Г - алгебры образуют многообразие, по которому категория Т восстанавливается однозначно. Действительно, пусть С С п О - клон главных производных операций свободной алгебры счетного ранга этого многообразия. Таким образом, категорный подход к универсальным алгебрам эквивалентен изучению многообразий и клонов главных производных операций. Категорный подход к универсальным алгебрам интересен тем, что позволяет рассматривать универсальные алгебры над произвольной категорией с прямыми произведениями. [9]
Ясно, что любая универсальная алгебра может быть реализована указанным способом. Коммутативным диaгpa шaм в категории Т соответствуют тождества в / - алгебрах. Гомоморфизмами Г - алгебр являются естественные преобразования функторов. Таким образом, все построенные Г - алгебры образуют многообразие, по которому категория Т восстанавливается однозначно. Действительно, пусть С С п О - клон главных производных операций свободной алгебры счетного ранга этого многообразия. Таким образом, категорный подход к универсальным алгебрам эквивалентен изучению многообразий и клонов главных производных операций. Категорный подход к универсальным алгебрам интересен тем, что позволяет рассматривать универсальные алгебры над произвольной категорией с прямыми произведениями. [10]
Скажем, что многообразия V и W эквивалентны, если V W и W V. Обозначим через [ V ] класс эквивалентных многообразий, содержащий V. Множество классов эквивалентности многообразий относительно отношения образует решетку. Она называется решеткой типов представимости многообразий. Отметим, что введенная эквивалентность многообразий достаточно груба - так, в одном классе, например, лежат многообразие всех полугрупп и многообразие всех множеств ( см. ( 46), с. Более естественна введенная А. И. Мальцевым ( см. [24], с. Она равносильна изоморфизму клонов главных производных операций свободных алгебр счетного ранга этих многообразий. [11]