Cтраница 1
Определение измеримой функции, данное в самом начале этого параграфа, относится к функциям на произвольных множествах и в общем случае никак не связано с понятием непрерывной функции. [1]
По определению измеримой функции нужно доказать, что / с множество х е [ a, b ]: f ( x) с Ес измеримо. [2]
По определению измеримой функции нужно доказать, что Vc множество х Е [ а, Ь ]: f ( x) с Ес измеримо. [3]
Из самого определения измеримой функции следует, что функция, заданная на неизмеримом множестве, неизмерима. [4]
Один способ определения измеримых функций производится с помощью обобщения следующего основного свойства функций, обратных элементарным функциям. [5]
Другой способ определения измеримых функций состоит в следующем. [6]
А По определению измеримой функции нужно доказать, что Vc множество яе [ а, b ]: f ( x) c Ec измеримо. [7]
На понятиях измеримого множества и меры базируется определение измеримых функций. [8]
Измеримые селекторы достаточно полно представляют многозначную функцию. Предположение о существовании такой последовательности селекторов можно положить в основу определения многозначной измеримой функции; измеримость в таком смысле не влечет, конечно, измеримость в изложенном в книге смысле. Однако для замкнутозначных функций оба определения измеримости эквивалентны. [9]
Важное различие состоит в том, что математик-классик всегда может расширить область определения своей функции до Е, полагая ее равной 0 в каждой точке, в которой она не определена. Интуиционистски это недопустимо, так как относительно некоторых точек может быть неизвестно, определена ли в них функция. Брауэровское определение измеримой функции сформулировано таким образом, что для любой такой функции мы почти всюду знаем либо, что она определена, либо что если она определена, то она меньше чем 5 - п где п может быть взято произвольно. [10]
Понятие измеримости надо распространить на функции, могущие принимать бесконечные значения. Достигается это тем, что одноточечные множества оо и - оо на расширенной числовой прямой причисляются к классу борелевских множеств. После этого само определение измеримой функции повторяется дословно. Таким образом, функция, принимающая действительные значения, конечные или бесконечные, измерима, если измеримы множества f - 1 ( oo) и / ( - оо), а также N ( f) Л / 1 ( Щ - каково бы ни было борелевское множество М на числовой прямой. Заметим, что класс борелевских множеств с присоединением к нему сю и - со перестает быть о-кольцом, порожденным всевозможными полузамкнутыми интервалами. [11]