Cтраница 1
Точки возможной бифуркации обозначены на графике зависимости о ( 0 звездочками. [1]
На дереве возможных бифуркаций ( рис. 7.1) бифуркации установившихся движений, сопровождающиеся жесткой сменой, отмечены черными кружочками. При мягкой смене установившегося движения локальная теория бифуркаций указывает, каково новое установившееся движение. Напротив, при жесткой смене новое установившееся движение пе указывается. Но здесь есть исключения, когда теоретически возможны нелокальное рассмотрение и выяснение этого нового режима. [2]
Одна из возможных бифуркаций аттрактора, часто реализующихся в системах, зависящих от параметра, - последовательность удвоений периода устойчивого цикла. Эта последовательность бифуркаций, происходящая на конечном интервале изменения параметра, приводит систему от устойчивого периодического режима к хаосу. [3]
Вопрос о возможных типах ячеек в трехмерном фазовом пространстве, тесно связанный с вопросом о возможных бифуркациях, оказывается очень сложным и не до конца выясненным. [4]
Здесь возникают: физические трудности в постановке задачи, связанные в основном с неединственностью ТДР и возможной бифуркацией или осцилляцией решений; теоретические трудности построения общего подхода, в котором весь химико-кинетический блок входил бы в качестве лишь одного из функциональных операторов, связанные со взаимным влиянием кинетики и свойств течения; математические трудности, связанные с ограниченными возможностями современных ЭВМ по памяти и быстродействию. [5]
Все сказанное до сих пор аналогично тому, что имело место для состояния равновесия: бифуркационные поверхности N l и Nv неподвижной точки аналогичны бифуркационным поверхностям No и Na состояния равновесия, а бифуркационная поверхность N-i является новой. Однако возможные бифуркации периодического движения этим не исчерпываются. Бифуркация периодического движения Г возможна еще за счет его исчезновения, происходящего по трем сценариям: Г теряет замкнутость, уходя в бесконечность, на Г появляется состояние равновесия, Г стягивается в точку. [6]
В основе такого подхода лежит представление о том, что качественные изменения фазового портрета происходят не путем плавных изменений, а путем скачкообразных изменений при отдельных значениях параметров, их бифуркационных значениях. В последние годы представления о возможных бифуркациях сильно изменились. Ранее считалось, что бифуркации изолированы друг от друга, что на фазовом портрете они имеют локализованный характер. [7]
Оказывается, во многих случаях изучение всевозможных деформаций сводится к исследованию одной единственной, из которой получаются все остальные. Такая деформация, в некотором смысле самая богатая, должна давать все возможные бифуркации данного объекта; она называется версальной деформацией. [8]
Подводя итог данному далекому от полноты обзору можно сказать, что имеется довольно обширный класс периодических движений с невырожденными ударами, для исследования которых можно применять стандартные метода анализа, используемые в гладких системах. Наиболее известным из них является метод линеаризации, позволяющий сделать вывод об устойчивости и возможных бифуркациях на основе вычисления собственной значений определяющей матрицы. [9]
Синергетический подход влечет за собой новый диалог человека с природой. Он приводит также к новому диалогу человека с самим собой и с другими людьми. Нелинейная ситуация, возможная бифуркация ( раздвоение) путей эволюции или состояние неустойчивости нелинейной среды, чувствительность ее к малым воздействиям - все это связано с неопределенностью и возможностью выбора. Осуществляя выбор, избирая дальнейший путь, субъект ориентируется на один из собственных, определяемых внутренними свойствами среды путей эволюции и вместе с тем опирается на свои ценностные предпочтения. Он выбирает наиболее благоприятный для себя путь, который в то же время является одним из реализуемых в данной среде. [10]
Прежде чем найти и подтвердить множественность решений, исследователи рассматривают наблюдаемые устойчивые решения: будет ли это особая точка или колебательное решение в качестве единственного устойчивого решения системы. Кроме того, исследователи предполагают, что если в одних экспериментальных условиях в системе имеется одна устойчивая особая точка, а в других - устойчивый предельный цикл, то для того, чтобы наблюдался устойчивый предельный цикл, необходимо, чтобы устойчивая особая точка стала неустойчивой. Во многих случаях такое предположение оправдывается, однако имеются примеры, в которых устойчивая особая точка и устойчивый предельный цикл существуют одновременно, разделенные неустойчивым предельным циклом. Очевидно, что теория бифуркаций может показать, что все возможные бифуркации приводят к появлению широкого набора разнообразных комбинаций устойчивых и неустойчивых, колебательных и неколебательных решений. В химической литературе этот факт четко установлен ( Гарел [52]); известны также многочисленные подобные примеры в литературе по бифуркациям. [11]
Фейпмана [353] есть очень образное описание возникновения турбулентности с ростом числа Рейпольдса. Нарисованная там картина и ее возросшая сложность по сравнению с более ранними описаниями как нельзя лучше соответствует параллельно и независимо идущему процессу усложнения представлений теории бифуркаций. Последующее изложение имеет целью прояснить все возможные метаморфозы фазового портрета, которые могли бы отвечать переходу ламинарного течения в турбулентное и вообще устойчивого равновесного состояния в хаос. Ото изложение не посит исчерпывающего характера, оно лишь в общих чертах описывает картину. После описания дерева возможных бифуркаций более подробно рассматриваются серии бифуркаций. Затем описываются бифуркации в двух конкретных и достаточно детально изученных динамических системах - системе Лоренца и нелинейном параметрически возбуждаемом осцилляторе и ротаторе. Эти примеры позволяют достаточно подробно проследить пути возникновения порядка и хаоса. [12]
В основе такого подхода лежит представление о том, что качественные изменения фазового портрета происходят не путем плавных изменений, а путем скачкообразных изменений при отдельных значениях параметров, их бифуркационных значениях. В последние годы представления о возможных бифуркациях сильно изменились. Ранее считалось, что бифуркации изолированы друг от друга, что на фазовом портрете они имеют локализованный характер. Точки бифуркаций могут сгущаться и образовывать сложные множества, а соответствующие им изменения фазового портрета могут захватывать целые области фазового пространства. Бифуркации не независимы, так что о сериях или множествах бифуркаций можно говорить как о некоторой новой, сложной бифуркации. Сам по себе этот факт не новый, и такой подход для получения более полных картин возможных бифуркаций использовался и раньше при решении различных конкретных задач. Однако за последнее время подверглись уточнению представления о наименьшей группе параметров, с изменением которых связана рассматриваемая бифуркация, о чем была речь в предыдущей пятой главе. [13]